Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß. Sie misst, wie stark die Werte um den Mittelwert schwanken:
| Standardabweichung | Bedeutung |
|---|---|
| Klein (z.B. 1,2) | Die Werte liegen nah am Mittelwert → wenig Streuung |
| Groß (z.B. 15,7) | Die Werte weichen stark vom Mittelwert ab → viel Streuung |
| 0 | Alle Werte sind gleich |
Die Formel
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
\(\bar{x}\) = Mittelwert, \(n\) = Anzahl der Werte
Standardabweichung = \(\sqrt{\text{Varianz}}\)
Warum \(n-1\)? In der Schule und bei Stichproben teilt man durch \(n-1\) (Bessel-Korrektur). Bei einer vollständigen Grundgesamtheit teilt man durch \(n\). In der Unterstufe wird oft auch durch \(n\) geteilt – achte auf die Aufgabenstellung!
Schritt-für-Schritt-Berechnung
\(\bar{x} = \frac{4+7+8+5+6}{5} = \frac{30}{5} = 6\)
\(4-6 = -2\), \(7-6 = 1\), \(8-6 = 2\), \(5-6 = -1\), \(6-6 = 0\)
\((-2)^2 = 4\), \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \((-1)^2 = 1\), \(0^2 = 0\)
\(4 + 1 + 4 + 1 + 0 = 10\)
\(s^2 = \frac{10}{5-1} = \frac{10}{4} = 2{,}5\)
\(s = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58\)
Eine übersichtliche Tabelle hilft bei der Berechnung:
| \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|
| 4 | −2 | 4 |
| 7 | 1 | 1 |
| 8 | 2 | 4 |
| 5 | −1 | 1 |
| 6 | 0 | 0 |
| Summe | 10 | |
Interpretation
Die Standardabweichung hat die gleiche Einheit wie die Daten (anders als die Varianz, die in Quadrat-Einheiten gemessen wird).
Klasse A: Noten 2, 3, 2, 3, 3, 2 → Mittelwert 2,5 | Standardabweichung ≈ 0,55
Klasse B: Noten 1, 5, 1, 4, 2, 5 → Mittelwert 3,0 | Standardabweichung ≈ 1,90
Klasse A hat viel gleichmäßigere Noten, Klasse B hat eine starke Streuung.
Varianz vs. Standardabweichung
| Varianz \(s^2\) | Standardabweichung \(s\) | |
|---|---|---|
| Berechnung | Mittlere quadratische Abweichung | Wurzel der Varianz |
| Einheit | Quadrat-Einheiten (z.B. cm²) | Gleiche Einheit wie Daten (z.B. cm) |
| Interpretation | Schwerer zu deuten | Direkt als „durchschnittliche Abweichung" deutbar |
Häufige Fehler vermeiden
- Quadrieren vergessen: Die Abweichungen \((x_i - \bar{x})\) müssen quadriert werden, sonst heben sich positive und negative Werte auf!
- Wurzel vergessen: Die Varianz ist \(s^2\), die Standardabweichung ist \(s = \sqrt{s^2}\).
- \(n\) statt \(n-1\): Bei Stichproben wird durch \(n-1\) geteilt. Achte auf die Aufgabenstellung!
- Vorzeichen ignorieren: \((-3)^2 = 9\), nicht \(-9\)! Quadrierung macht alles positiv.
Übungen
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Was misst die Standardabweichung?
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Werte: 10, 10, 10, 10. Standardabweichung?
Varianz = 16. Standardabweichung?
Werte: 2, 4, 6. Mittelwert = 4. Summe der quadrierten Abweichungen?
Werte: 2, 4, 6. Varianz (mit n-1)?