Was sind Potenzen?
Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für wiederholte Multiplikation:
\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-mal}}\]
- \(a\) heißt Basis
- \(n\) heißt Exponent oder Hochzahl
Beispiel: \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
Potenzgesetze
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Multiplikation | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\) |
| Division | \(a^m : a^n = a^{m-n}\) | \(5^6 : 5^2 = 5^4\) |
| Potenz der Potenz | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((3^2)^3 = 3^6\) |
| Produkt potenzieren | \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) | \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2\) |
Was sind Wurzeln?
Die Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(a\) ergibt.
Wichtige Wurzeln
- Quadratwurzel: \(\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}\)
- Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{a}\)
- n-te Wurzel: \(\sqrt[n]{a}\)
Es gilt: \((\sqrt[n]{a})^n = a\) und \(\sqrt[n]{a^n} = a\) (für \(a \geq 0\))
Beispiel: Potenzgesetze anwenden
Aufgabe: Vereinfache \(\frac{3^7 \cdot 3^2}{3^4}\)
Lösung:
- Zähler vereinfachen: \(3^7 \cdot 3^2 = 3^{7+2} = 3^9\)
- Division: \(\frac{3^9}{3^4} = 3^{9-4} = 3^5\)
- Ergebnis: \(3^5 = 243\)
Ergebnis: \(\frac{3^7 \cdot 3^2}{3^4} = 3^5 = 243\)
Tipp: Besondere Exponenten
\(a^0 = 1\) für alle \(a \neq 0\)
\(a^1 = a\)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (negative Exponenten)
\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\) (Bruchexponenten)
Übungen
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Berechne: \(2^4\)
Vereinfache: \(5^3 \cdot 5^2\)
Berechne: \(\sqrt{64}\)