Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion hat die Form \(f(x) = a \cdot b^x\), wobei die Variable \(x\) im Exponenten steht. Dies führt zu sehr schnellem Wachstum oder Zerfall.
| Typ | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Exponentielles Wachstum | \(b > 1\) | \(f(x) = 2^x\) (Verdopplung) |
| Exponentieller Zerfall | \(0 < b < 1\) | \(f(x) = 0{,}5^x\) (Halbierung) |
| Natürliche e-Funktion | \(b = e \approx 2{,}718\) | \(f(x) = e^x\) |
Wichtige Eigenschaften von Exponentialfunktionen:
• Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R}\) (alle reellen Zahlen)
• Wertemenge: \(W = \mathbb{R}^+\) (nur positive Zahlen)
• Keine Nullstellen (der Graph schneidet nie die x-Achse)
• Asymptote: die x-Achse
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Start: 100 Bakterien
💡 Merke: Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten! Das führt zu sehr schnellem Wachstum.
Potenzfunktion
Eine Potenzfunktion hat die Form \(f(x) = a \cdot x^n\), wobei \(n\) eine feste Zahl (der Exponent) ist.
Beispiele für Potenzfunktionen:
\(f(x) = x^2\) (Parabel, n = 2)
\(f(x) = x^3\) (kubische Funktion, n = 3)
\(f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}\) (Hyperbel, n = -1)
\(f(x) = \sqrt{x} = x^{0{,}5}\) (Wurzelfunktion, n = 0,5)
Kreisfläche: \(A(r) = \pi r^2\) (Potenzfunktion mit n = 2)
Bei doppeltem Radius: Fläche vervierfacht sich
Kugelvolumen: \(V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3\) (Potenzfunktion mit n = 3)
Bei doppeltem Radius: Volumen verachtfacht sich
Exponential- vs. Potenzfunktion
Der wichtigste Unterschied liegt darin, wo die Variable steht:
| Merkmal | Exponentialfunktion | Potenzfunktion |
|---|---|---|
| Allgemeine Form | \(f(x) = a \cdot b^x\) | \(f(x) = a \cdot x^n\) |
| Variable steht | Im Exponenten | In der Basis |
| Beispiel | \(f(x) = 2^x\) | \(f(x) = x^2\) |
| Wachstum | Sehr schnell | Je nach n unterschiedlich |
💡 Eselsbrücke: "Expo" = Variable oben (im Exponenten), "Potenz" = Variable unten (in der Basis)
Übungen
Teste dein Wissen über Exponential- und Potenzfunktionen!
Welche Funktion ist eine Exponentialfunktion?
Berechne \(f(3)\) für \(f(x) = 2^x\).
Eine Substanz zerfällt exponentiell: \(f(t) = 1000 \cdot 0{,}5^t\). Nach wie vielen Zeiteinheiten sind noch 125 Einheiten übrig?
Alle weiteren Funktionstypen
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