Was ist ein Kreis?
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die denselben Abstand von einem Mittelpunkt haben.
Wichtige Begriffe:
- Radius (r): Abstand vom Mittelpunkt zum Kreisrand
- Durchmesser (d): Doppelter Radius, \(d = 2r\)
- Pi (π): Kreiszahl, ungefähr 3,14159...
Kreisformeln im Überblick
| Größe | Formel | Beispiel (r = 5 cm) |
|---|---|---|
| Umfang (U) | \(U = 2 \pi r = \pi d\) | \(U = 2 \cdot \pi \cdot 5 \approx 31,4\) cm |
| Fläche (A) | \(A = \pi r^2\) | \(A = \pi \cdot 5^2 \approx 78,5\) cm² |
| Durchmesser (d) | \(d = 2r\) | \(d = 2 \cdot 5 = 10\) cm |
Kreisfläche und Kreisumfang
Wichtige Formeln
Kreisumfang: \[U = 2 \pi r = \pi d\]
Kreisfläche: \[A = \pi r^2\]
Die Kreiszahl \(\pi \approx 3,14\) ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.
Kreissektor und Kreisbogen
Ein Kreissektor ist ein Ausschnitt des Kreises, wie ein Tortenstück.
Formeln für Kreissektoren
Bei einem Mittelpunktswinkel \(\alpha\) (in Grad):
Kreisbogen (b): \(b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\)
Sektorfläche (A): \(A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2\)
Beispiel: Kreisumfang und Kreisfläche berechnen
Aufgabe: Ein Kreis hat den Radius \(r = 4\) cm. Berechne Umfang und Fläche.
Lösung:
- Umfang: \(U = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25,1\) cm
- Fläche: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50,3\) cm²
Ergebnis: Umfang \(\approx 25,1\) cm, Fläche \(\approx 50,3\) cm²
Tipp: Kreisring
Ein Kreisring entsteht, wenn man einen kleineren Kreis aus einem größeren ausschneidet. Die Fläche ist: \(A = \pi(R^2 - r^2)\), wobei R der große und r der kleine Radius ist.
Übungen
Teste dein Wissen!
Ein Kreis hat den Durchmesser \(d = 6\) cm. Wie groß ist der Radius?
Ein Kreis hat den Radius \(r = 3\) cm. Welche Formel berechnet den Umfang?
Ein Kreis hat den Radius \(r = 2\) cm. Wie groß ist die Kreisfläche? (nutze \(\pi \approx 3,14\))