Was ist eine Wurzel?
„Die Quadratwurzel von a ist die nicht-negative Zahl b, deren Quadrat a ergibt"
n heißt Wurzelexponent, a heißt Radikand
| Name | Schreibweise | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Quadratwurzel | \(\sqrt{a}\) oder \(\sqrt[2]{a}\) | \(b^2 = a\) | \(\sqrt{9} = 3\) |
| Kubikwurzel | \(\sqrt[3]{a}\) | \(b^3 = a\) | \(\sqrt[3]{8} = 2\) |
| Vierte Wurzel | \(\sqrt[4]{a}\) | \(b^4 = a\) | \(\sqrt[4]{16} = 2\) |
Wichtige Quadratwurzeln auswendig
| \(\sqrt{1}\) | \(\sqrt{4}\) | \(\sqrt{9}\) | \(\sqrt{16}\) | \(\sqrt{25}\) | \(\sqrt{36}\) | \(\sqrt{49}\) | \(\sqrt{64}\) | \(\sqrt{81}\) | \(\sqrt{100}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Wurzelgesetze
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) | \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\) |
| Quotientenregel | \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\) |
| Potenzschreibweise | \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) | \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\) |
| Potenz unter Wurzel | \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) | \(\sqrt{x^4} = x^2\) |
⚠️ Achtung: Es gibt keine Summenregel! \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Beispiel: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), aber \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Teilweises Wurzelziehen
Zerlege den Radikanden in einen quadratischen Faktor und einen Rest:
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\)
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtraktion
Nur gleichartige Wurzeln können zusammengefasst werden:
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) ✓ (gleichartig)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}\) → nicht vereinfachbar ✗ (verschiedene Radikanden)
Multiplikation
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3\)
\(2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = 6 \cdot 5 = 30\)
\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)
Nenner rational machen
\(\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)
Häufige Fehler vermeiden
- Summenregel verwenden: \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)! Das ist der häufigste Fehler.
- Negative Radikanden: \(\sqrt{-4}\) ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert (keine reelle Lösung).
- Wurzel vergessen: \(\sqrt{x^2} = |x|\), nicht einfach \(x\). Für \(x \geq 0\) gilt \(\sqrt{x^2} = x\).
- Quadrat und Wurzel verwechseln: \((\sqrt{5})^2 = 5\), aber \(\sqrt{5^2} = 5\) (beides ergibt 5, aber der Weg ist anders).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(\sqrt{64} = \)?
\(\sqrt[3]{27} = \)?
Vereinfache: \(\sqrt{48}\)
Ist \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) richtig?
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \)?
Mache den Nenner rational: \(\frac{10}{\sqrt{5}}\)