Was sind Brüche?
Ein Bruch besteht aus zwei Teilen:
- Zähler (oben): Gibt an, wie viele Teile genommen werden
- Nenner (unten): Gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt ist
Der Bruch \(\frac{3}{4}\) bedeutet: Das Ganze wird in 4 gleiche Teile geteilt, und davon werden 3 Teile genommen.
\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{3}{4}\]
Der Bruchstrich bedeutet "geteilt durch".
Brucharten im Überblick
- Echter Bruch: Zähler kleiner als Nenner, z.B. \(\frac{3}{5}\)
- Unechter Bruch: Zähler größer oder gleich Nenner, z.B. \(\frac{7}{4}\)
- Gemischte Zahl: Ganze Zahl und Bruch, z.B. \(1\frac{3}{4}\)
Brüche erweitern und kürzen
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen.
Beim Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruchs nicht!
Erweitern und Kürzen
| Operation | Beispiel | Regel |
|---|---|---|
| Erweitern (×3) | \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) | Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren |
| Kürzen (:4) | \(\frac{12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}\) | Zähler und Nenner durch 4 teilen |
Beispiel: Brüche addieren
Aufgabe: Berechne \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\)
Lösung:
- Gemeinsamen Nenner finden: \(4 \cdot 6 = 24\) oder besser KGV(4,6) = 12
- Brüche erweitern: \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\)
- Zähler addieren: \(\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\)
Ergebnis: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}\)
Tipp: Brüche multiplizieren und dividieren
Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)
Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren: \(\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)
Übungen
Teste dein Wissen!
Welcher Bruch ist vollständig gekürzt? \(\frac{6}{9}\)
Berechne: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)
Berechne: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}\)