📊 Statistik 2.-3. Klasse

Mittelwert (Durchschnitt) berechnen

Der Mittelwert – auch Durchschnitt oder arithmetisches Mittel genannt – ist die bekannteste statistische Kennzahl. Du berechnest ihn, indem du alle Werte addierst und durch ihre Anzahl teilst. Er beschreibt, wo die „Mitte" eines Datensatzes liegt.

Formel

Arithmetisches Mittel

\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)

Summe aller Werte ÷ Anzahl der Werte

Beispiel: Noten einer Schularbeit: 2, 3, 1, 4, 2

Summe: \(2 + 3 + 1 + 4 + 2 = 12\)

Anzahl: \(n = 5\)

\(\bar{x} = \frac{12}{5} = 2{,}4\)

Schritt für Schritt

Anleitung: Mittelwert berechnen

Alle Werte addieren (Summe bilden)

Anzahl der Werte zählen (n bestimmen)

Summe durch Anzahl teilen → Mittelwert

Weiteres Beispiel

Beispiel: Tägliche Temperaturen in einer Woche: 12°, 15°, 14°, 18°, 20°, 16°, 10°

Summe: \(12 + 15 + 14 + 18 + 20 + 16 + 10 = 105\)

Anzahl: \(n = 7\)

\(\bar{x} = \frac{105}{7} = 15\)°C

Gewichteter Mittelwert

Wenn manche Werte „mehr zählen" als andere, verwendest du den gewichteten Mittelwert. Die Gewichte geben an, wie stark jeder Wert in die Berechnung einfließt:

Gewichteter Mittelwert

\(\bar{x}_g = \frac{x_1 \cdot g_1 + x_2 \cdot g_2 + ... + x_n \cdot g_n}{g_1 + g_2 + ... + g_n}\)

Beispiel: Schularbeiten (doppelt) und Mitarbeit

Schularbeit 1: Note 2 (Gewicht 2), Schularbeit 2: Note 3 (Gewicht 2), Mitarbeit: Note 1 (Gewicht 1)

\(\bar{x}_g = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1}{2 + 2 + 1} = \frac{4 + 6 + 1}{5} = \frac{11}{5} = 2{,}2\)

Mittelwert vs. Median vs. Modus

Kennzahl	Berechnung	Besonderheit
Mittelwert	Summe ÷ Anzahl	Empfindlich bei Ausreißern
Median	Mittlerer Wert (sortiert)	Robust gegenüber Ausreißern
Modus	Häufigster Wert	Kann mehrere Werte haben

Beispiel: Werte 2, 3, 3, 4, 100

Mittelwert: \(\frac{112}{5} = 22{,}4\) – durch den Ausreißer 100 stark verzerrt!

Median: 3 – beschreibt die „typische Mitte" besser

Modus: 3 – der häufigste Wert

Wann Mittelwert? Der Mittelwert eignet sich gut, wenn die Daten gleichmäßig verteilt sind und keine extremen Ausreißer vorhanden sind. Bei Ausreißern ist der Median oft die bessere Wahl.

Umkehraufgabe: Fehlenden Wert berechnen

Wenn der Mittelwert bekannt ist, kannst du einen fehlenden Wert berechnen:

Beispiel: 4 Tests, Durchschnitt soll 2,5 sein. Noten bisher: 3, 2, 4. Welche Note brauchst du?

Gesamtsumme nötig: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\)

Bisherige Summe: \(3 + 2 + 4 = 9\)

Fehlende Note: \(10 - 9 = \mathbf{1}\)

Häufige Fehler vermeiden

Anzahl falsch zählen: Alle Werte zählen, auch wenn welche gleich sind! Bei 3, 3, 5 ist \(n = 3\), nicht 2.
Mittelwert und Median verwechseln: Mittelwert = Summe ÷ Anzahl. Median = mittlerer Wert der sortierten Reihe.
Einheiten vergessen: Wenn die Werte eine Einheit haben (z. B. °C), hat auch der Mittelwert diese Einheit.
Ausreißer ignorieren: Bei extremen Werten ist der Mittelwert verzerrt – prüfe immer, ob der Median aussagekräftiger wäre.

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