Das Koordinatensystem
Im kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt durch zwei Zahlen beschrieben: die \(x\)-Koordinate (horizontal) und die \(y\)-Koordinate (vertikal).
| Begriff | Erklärung | Beispiel |
|---|---|---|
| Punkt | Position im Koordinatensystem | \(P(3|2)\) |
| x-Koordinate | Horizontale Position (Abszisse) | In \(P(3|2)\) ist \(x = 3\) |
| y-Koordinate | Vertikale Position (Ordinate) | In \(P(3|2)\) ist \(y = 2\) |
| Ursprung | Der Punkt \(O(0|0)\) | Schnittpunkt der Achsen |
Schreibweise: Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet, z.B. \(A\), \(P\), \(M\). Die Koordinaten schreibt man in Klammern: \(P(x|y)\)
Abstand zwischen zwei Punkten
Um den Abstand zwischen zwei Punkten \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) zu berechnen, verwendet man die Abstandsformel (basiert auf dem Satz des Pythagoras):
Gegeben: \(A(1|2)\) und \(B(4|6)\). Gesucht: Abstand \(d\)
Ergebnis: Der Abstand beträgt 5 Längeneinheiten.
💡 Merke: Die Reihenfolge der Punkte ist egal: \(d(A,B) = d(B,A)\). Das Quadrieren macht negative Werte positiv!
Mittelpunkt einer Strecke
Der Mittelpunkt \(M\) einer Strecke zwischen \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) liegt genau in der Mitte. Man berechnet ihn als Durchschnitt der Koordinaten:
Gegeben: \(A(2|3)\) und \(B(8|7)\). Gesucht: Mittelpunkt \(M\)
Ergebnis: Der Mittelpunkt ist \(M(5|5)\)
Übungen
Teste dein Wissen zur Koordinatengeometrie!
Welche Koordinaten hat der Punkt, der 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten über dem Ursprung liegt?
Berechne den Abstand zwischen \(A(0|0)\) und \(B(3|4)\).
Der Mittelpunkt einer Strecke ist \(M(4|5)\). Ein Endpunkt ist \(A(2|3)\). Wo liegt der andere Endpunkt \(B\)?