Die Zahlengerade
Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von der Null, positive Zahlen rechts:
Je weiter links, desto kleiner die Zahl
Ordnung: \(-5 < -3 < -1 < 0 < 2 < 7\). Achtung: −5 ist kleiner als −3! Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist sie.
Der Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null – immer positiv:
\(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|-12| = 12\)
Addition
| Situation | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Positiv + Positiv | Normal addieren | \(3 + 5 = 8\) |
| Negativ + Negativ | Beträge addieren, Minus davor | \((-3) + (-5) = -8\) |
| Gemischt (versch. Vorzeichen) | Beträge subtrahieren, Vorzeichen der größeren | \((-7) + 4 = -3\) |
Subtraktion
„Minus und Minus ergibt Plus" (nur bei Subtraktion!)
| Ausdruck | Umformung | Ergebnis |
|---|---|---|
| \(5 - 8\) | → \(5 + (-8)\) | \(-3\) |
| \(5 - (-3)\) | → \(5 + 3\) | \(8\) |
| \((-4) - 6\) | → \((-4) + (-6)\) | \(-10\) |
| \((-4) - (-7)\) | → \((-4) + 7\) | \(3\) |
Multiplikation und Division
\((+) \cdot (-) = -\) und \((-) \cdot (+) = -\)
Gleiche Vorzeichen → Plus | Verschiedene Vorzeichen → Minus
Merkhilfe: Die gleichen Regeln gelten für die Division!
\((-4) \cdot (-3) = +12\) (gleiche Vorzeichen → plus)
\((-6) \cdot 5 = -30\) (verschiedene Vorzeichen → minus)
\((-20) \div (-4) = +5\) (gleiche Vorzeichen → plus)
\(18 \div (-3) = -6\) (verschiedene Vorzeichen → minus)
Mehrere Faktoren
Faustregel: Zähle die negativen Faktoren. Gerade Anzahl → Ergebnis positiv. Ungerade Anzahl → Ergebnis negativ.
3 negative Faktoren (ungerade) → Ergebnis negativ
\(= -(2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4) = -24\)
Klammern mit Vorzeichen
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Plus vor Klammer | \(+(a - b) = a - b\) | \(+(3 - 5) = 3 - 5 = -2\) |
| Minus vor Klammer | \(-(a - b) = -a + b\) | \(-(3 - 5) = -3 + 5 = 2\) |
Häufige Fehler vermeiden
- „Minus mal Minus ist Plus" falsch anwenden: Das gilt nur bei Multiplikation/Division! \((-3) + (-5) = -8\), nicht +8.
- Ordnung verwechseln: −10 ist kleiner als −2 (weiter links auf der Zahlengeraden).
- Klammern vergessen: Schreibe \((-3) \cdot (-5)\) mit Klammern, um Verwirrung zu vermeiden.
- Subtraktion als Addition: \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\). Das doppelte Minus wird Plus!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Welche Zahl ist kleiner: −7 oder −3?
\((-4) + (-6) = \)?
\(5 - (-3) = \)?
\((-5) \cdot (-4) = \)?
\((-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = \)?
\((-8) - (-3) + (-2) = \)?