Was ist Analysis?
Die Analysis (oder Infinitesimalrechnung) beschäftigt sich mit kontinuierlichen Veränderungen. Die zwei Hauptgebiete sind:
Differentialrechnung: Untersucht die Änderungsrate von Funktionen (Ableitungen)
Integralrechnung: Berechnet Flächen unter Kurven und Gesamtänderungen (Integrale/Stammfunktionen)
Geschwindigkeit: Die Ableitung der Wegfunktion nach der Zeit gibt die Geschwindigkeit
Optimierung: Extrempunkte finden (z.B. maximaler Gewinn, minimale Kosten)
Physik: Beschleunigung, Kräfte, Bewegungsgleichungen
Grenzwerte
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion annähert, wenn x gegen einen bestimmten Wert strebt.
Schreibweise: \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
Bedeutung: Wenn x sich dem Wert a nähert, nähert sich f(x) dem Wert L.
💡 Merke: Bei stetigen Funktionen kann man den Grenzwert oft einfach durch Einsetzen berechnen!
Die Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f(x) beschreibt die momentane Änderungsrate. Geometrisch ist das die Steigung der Tangente an den Graphen.
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| \(f'(x)\) | Erste Ableitung von f nach x |
| \(\frac{df}{dx}\) | Alternative Schreibweise (Leibniz) |
| \(f''(x)\) | Zweite Ableitung (Ableitung der Ableitung) |
Definition der Ableitung:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
Dies ist der Differenzenquotient im Grenzwert h gegen 0.
Gegeben: Weg \(s(t) = 5t^2\) (in Metern, t in Sekunden)
Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 10t\) (in m/s)
Beschleunigung: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 10\) (in m/s²)
Wichtige Ableitungsregeln
Mit diesen Regeln kann man Ableitungen schnell berechnen:
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) |
| Konstantenregel | \(f(x) = c\) | \(f'(x) = 0\) |
| Faktorregel | \(f(x) = c \cdot g(x)\) | \(f'(x) = c \cdot g'(x)\) |
| Summenregel | \(f(x) = g(x) + h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\) |
Übungen
Teste dein Wissen über die Grundlagen der Analysis!
Was ist die Ableitung von \(f(x) = x^3\)?
Berechne \(f'(x)\) für \(f(x) = 5x^2 + 3x - 7\).
Was beschreibt die Ableitung \(f'(x)\) geometrisch?
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