📊 Statistik 3.-4. Klasse

Median (Zentralwert) berechnen

Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte einer sortierten Datenreihe steht. Die eine Hälfte der Werte ist kleiner, die andere Hälfte ist größer. Anders als der Mittelwert wird der Median von Ausreißern kaum beeinflusst.

Was ist der Median?

Der Median (auch Zentralwert genannt) teilt eine sortierte Datenreihe in zwei gleich große Hälften:

Definition Median

Mindestens 50 % der Werte ≤ Median, mindestens 50 % der Werte ≥ Median

Der Median ist der „mittlere" Wert der sortierten Datenreihe

Wichtig: Die Werte müssen zuerst sortiert werden (von klein nach groß), bevor du den Median bestimmst!

Median berechnen

Die Berechnung hängt davon ab, ob die Anzahl der Werte ungerade oder gerade ist:

Fall 1: Ungerade Anzahl

Bei einer ungeraden Anzahl \(n\) von Werten ist der Median der Wert an Position \(\frac{n+1}{2}\):

Ungerade Anzahl

\(\text{Median} = x_{\frac{n+1}{2}}\)

Der Wert genau in der Mitte

Beispiel: Noten einer Schularbeit: 2, 5, 1, 3, 4

Sortieren: 1, 2, 3, 4, 5

n = 5 (ungerade) → Position: \(\frac{5+1}{2} = 3\)

Median = 3 (der 3. Wert in der sortierten Reihe)

Fall 2: Gerade Anzahl

Bei einer geraden Anzahl gibt es keinen einzelnen mittleren Wert. Dann nimmt man den Durchschnitt der beiden mittleren Werte:

Gerade Anzahl

\(\text{Median} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\)

Durchschnitt der beiden mittleren Werte

Beispiel: Temperaturen in °C: 18, 22, 15, 20, 25, 17

Sortieren: 15, 17, 18, 20, 22, 25

n = 6 (gerade) → Positionen: \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\frac{6}{2}+1 = 4\)

Median = \(\frac{18 + 20}{2} = \frac{38}{2} = 19\)°C

Median vs. Mittelwert

Der Median und der Mittelwert (arithmetisches Mittel) sind beides Lagemaße – sie beschreiben die „Mitte" eines Datensatzes. Aber sie reagieren unterschiedlich auf Ausreißer:

Eigenschaft	Mittelwert \(\bar{x}\)	Median
Berechnung	Summe ÷ Anzahl	Mittlerer Wert der sortierten Reihe
Empfindlich bei Ausreißern?	Ja – stark beeinflusst	Nein – robust
Wann sinnvoll?	Symmetrische Daten ohne Ausreißer	Schiefe Daten oder mit Ausreißern

Beispiel: Warum der Median aussagekräftiger sein kann

Gehälter in einem Team: 2.000, 2.200, 2.300, 2.500, 15.000 €

Mittelwert: \(\frac{24.000}{5} = 4.800\) € – das klingt hoch, weil der eine extreme Wert alles verzerrt.

Median: 2.300 € – das beschreibt die „typische" Mitte viel besser!

Quartile und Zusammenhang

Der Median ist gleichzeitig das zweite Quartil (Q₂). Die Quartile teilen die Daten in vier gleiche Teile:

Kennzahl	Bedeutung
Q₁ (1. Quartil)	25 % der Werte liegen darunter
Q₂ = Median	50 % der Werte liegen darunter
Q₃ (3. Quartil)	75 % der Werte liegen darunter

Zusammenfassung: Schritt für Schritt

Anleitung: Median berechnen

Alle Werte der Größe nach sortieren

Anzahl \(n\) der Werte bestimmen

\(n\) ungerade? → Mittlerer Wert ist der Median

\(n\) gerade? → Durchschnitt der beiden mittleren Werte

Häufige Fehler vermeiden

Nicht sortieren: Der häufigste Fehler! Vor der Median-Bestimmung immer die Werte der Größe nach ordnen.
Median mit Mittelwert verwechseln: Der Mittelwert wird durch Addition und Division berechnet, der Median durch Sortieren und Ablesen.
Bei gerader Anzahl nur einen Wert nehmen: Bei gerader Anzahl musst du den Durchschnitt der beiden mittleren Werte bilden.
Ausreißer nicht beachten: Wenn Ausreißer vorhanden sind, ist der Median oft aussagekräftiger als der Mittelwert.

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