Was ist Teilbarkeit?
Eine Zahl \(a\) ist durch eine Zahl \(b\) teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht.
Beispiel: 12 ist durch 3 teilbar, weil \(12 : 3 = 4\) (ohne Rest).
12 ist nicht durch 5 teilbar, weil \(12 : 5 = 2\) Rest 2.
Wichtige Teilbarkeitsregeln
| Teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | Letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 124 ist durch 2 teilbar |
| 3 | Quersumme ist durch 3 teilbar | 123: 1+2+3=6, durch 3 teilbar |
| 5 | Letzte Ziffer ist 0 oder 5 | 125 ist durch 5 teilbar |
| 9 | Quersumme ist durch 9 teilbar | 162: 1+6+2=9, durch 9 teilbar |
| 10 | Letzte Ziffer ist 0 | 120 ist durch 10 teilbar |
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
Die ersten Primzahlen
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Die Zahl 1 ist keine Primzahl! Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
ggT: Die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind.
kgV: Die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist.
Zusammenhang zwischen ggT und kgV
\[a \cdot b = \text{ggT}(a,b) \cdot \text{kgV}(a,b)\]
Beispiel: ggT und kgV berechnen
Aufgabe: Finde ggT und kgV von 12 und 18.
Lösung mit Primfaktorzerlegung:
- \(12 = 2^2 \cdot 3\)
- \(18 = 2 \cdot 3^2\)
- ggT: Kleinste Potenzen nehmen: \(2^1 \cdot 3^1 = 6\)
- kgV: Größte Potenzen nehmen: \(2^2 \cdot 3^2 = 36\)
Ergebnis: ggT(12,18) = 6 und kgV(12,18) = 36
Tipp: Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Beispiel: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)
Übungen
Teste dein Wissen!
Ist 156 durch 3 teilbar?
Welche Zahl ist eine Primzahl?
Was ist der ggT von 24 und 36?