Dreiecke berechnen - ein Überblick
Während die Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) nur in rechtwinkligen Dreiecken funktionieren, helfen dir Sinussatz und Kosinussatz bei allen Dreiecken - egal ob rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig.
Die Kunst besteht darin, zu erkennen, welche Formel du in welcher Situation brauchst. Das hängt davon ab, welche Größen gegeben sind.
Wichtig: Ein Dreieck hat 6 Größen: 3 Seiten (a, b, c) und 3 Winkel (α, β, γ). Du brauchst mindestens 3 davon, um das Dreieck vollständig zu berechnen.
Wann verwende ich welche Formel?
| Gegeben | Verwende | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS) | Kosinussatz | a = 5, b = 7, γ = 60° |
| Drei Seiten (SSS) | Kosinussatz | a = 4, b = 5, c = 6 |
| Zwei Winkel und eine Seite (WWS) | Sinussatz | α = 40°, β = 60°, a = 5 |
| Zwei Seiten und Gegenwinkel (SsW) | Sinussatz | a = 5, b = 7, α = 40° |
Der Sinussatz
Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Seiten und ihren gegenüberliegenden Winkeln her:
Du kannst ihn auch umgekehrt schreiben:
💡 Merke: Der Sinussatz brauchst du immer dann, wenn du Winkel und gegenüberliegende Seiten gegeben hast oder suchst.
Der Kosinussatz
Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke:
Analog gilt auch:
- \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\)
- \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\)
Wichtig: Bei einem rechtwinkligen Dreieck (γ = 90°) wird \(\cos(90°) = 0\) und der Kosinussatz wird zum Satz von Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\)
Beispielrechnung mit Kosinussatz
Gegeben: a = 6 cm, b = 8 cm, γ = 60°
Gesucht: Die fehlende Seite c
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)
\(c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°)\)
\(c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot 0{,}5\)
\(c^2 = 100 - 48 = 52\)
\(c = \sqrt{52} \approx 7{,}21\) cm
Übungen
Teste dein Wissen über Dreiecksberechnungen!
Welche Formel verwendest du, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind?
Der Sinussatz lautet \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\). Was bedeutet das in Worten?
In einem Dreieck sind a = 5, b = 7 und γ = 90° gegeben. Berechne c mit dem Kosinussatz. Was ergibt sich?