Was sind Zahlenbereiche?
In der Mathematik werden Zahlen in verschiedene Zahlenbereiche eingeteilt. Diese Bereiche bauen aufeinander auf:
- Natürliche Zahlen (N): Die Zahlen zum Zählen
- Ganze Zahlen (Z): Natürliche Zahlen plus negative Zahlen
- Rationale Zahlen (Q): Alle Bruchzahlen
- Reelle Zahlen (R): Alle Zahlen auf der Zahlengeraden
Jeder Zahlenbereich ist im nächstgrößeren enthalten: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Die Zahlenbereiche im Überblick
| Zahlenbereich | Symbol | Beschreibung | Beispiele |
|---|---|---|---|
| Natürliche Zahlen | \(\mathbb{N}\) | Positive ganze Zahlen | 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... |
| Ganze Zahlen | \(\mathbb{Z}\) | Positive und negative ganze Zahlen | ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... |
| Rationale Zahlen | \(\mathbb{Q}\) | Alle Bruchzahlen | \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), 0,5, 2 |
| Reelle Zahlen | \(\mathbb{R}\) | Alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl | \(\pi\), \(\sqrt{2}\), -3,5, 7 |
Der Zahlenstrahl
Auf dem Zahlenstrahl können alle reellen Zahlen dargestellt werden. Jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl entspricht genau einer Zahl.
Wichtige Eigenschaften
- Rechts von 0 liegen die positiven Zahlen
- Links von 0 liegen die negativen Zahlen
- Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie
- Zwischen zwei beliebigen Zahlen liegen unendlich viele weitere Zahlen
Beispiel: Zahlen den Zahlenbereichen zuordnen
Aufgabe: Zu welchen Zahlenbereichen gehören diese Zahlen?
- \(5\): Natürliche Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl, reelle Zahl (\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\))
- \(-3\): Ganze Zahl, rationale Zahl, reelle Zahl (\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\))
- \(\frac{2}{3}\): Rationale Zahl, reelle Zahl (\(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\))
- \(\sqrt{2}\): Nur reelle Zahl (\(\mathbb{R}\)) – keine rationale Zahl!
Tipp: Rationale vs. Irrationale Zahlen
Eine Zahl ist rational, wenn sie als Bruch \(\frac{a}{b}\) dargestellt werden kann. Irrationale Zahlen wie \(\pi\) oder \(\sqrt{2}\) können nicht als Bruch geschrieben werden und haben unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
Übungen
Teste dein Wissen!
Welche Zahl gehört zu den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\)?
Welche Aussage ist richtig?
Welche Zahl ist NICHT rational?