Monotonie - Steigen und Fallen
Die Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
| Eigenschaft | Bedeutung | Bedingung |
|---|---|---|
| Streng monoton steigend | Funktion steigt durchgehend | Wenn \(x_1 < x_2\), dann \(f(x_1) < f(x_2)\) |
| Streng monoton fallend | Funktion fällt durchgehend | Wenn \(x_1 < x_2\), dann \(f(x_1) > f(x_2)\) |
| Monoton steigend | Funktion steigt oder bleibt gleich | Wenn \(x_1 < x_2\), dann \(f(x_1) \leq f(x_2)\) |
| Monoton fallend | Funktion fällt oder bleibt gleich | Wenn \(x_1 < x_2\), dann \(f(x_1) \geq f(x_2)\) |
Streng monoton steigend: \(f(x) = 2x + 3\) (lineare Funktion mit positiver Steigung)
Streng monoton fallend: \(f(x) = -x + 5\) (lineare Funktion mit negativer Steigung)
💡 Merke: Bei linearen Funktionen \(f(x) = kx + d\) entscheidet das Vorzeichen von \(k\): positiv = steigend, negativ = fallend!
Symmetrie
Eine Funktion kann achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion): \(f(-x) = f(x)\) für alle x
Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion): \(f(-x) = -f(x)\) für alle x
Nullstellen
Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt, also \(f(x) = 0\). Graphisch sind das die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Wichtig: Nicht jede Funktion hat Nullstellen! Die Funktion \(f(x) = x^2 + 1\) hat zum Beispiel keine reellen Nullstellen.
Extremwerte - Hoch- und Tiefpunkte
Extremwerte sind lokale oder globale Maxima (Hochpunkte) und Minima (Tiefpunkte) einer Funktion.
Lokales Maximum: Ein Punkt, an dem die Funktion in der Umgebung am größten ist.
Lokales Minimum: Ein Punkt, an dem die Funktion in der Umgebung am kleinsten ist.
Globales Maximum/Minimum: Der größte/kleinste Wert im gesamten Definitionsbereich.
Diese nach unten geöffnete Parabel hat ein globales Maximum am Scheitelpunkt.
Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 2\) mit \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1\)
Maximum: \((2, 1)\)
Übungen
Teste dein Wissen über Funktionseigenschaften!
Welche Funktion ist streng monoton steigend?
Welche Symmetrie hat \(f(x) = x^3\)?
Wie viele Nullstellen hat \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)?
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