Was sind geometrische Abbildungen?
Eine geometrische Abbildung ist eine Transformation, die jeden Punkt einer Figur nach einer bestimmten Regel auf einen neuen Punkt abbildet. Die ursprüngliche Figur heißt Urbild, die neue Figur Bild.
| Abbildung | Beschreibung | Eigenschaften |
|---|---|---|
| Verschiebung | Alle Punkte bewegen sich in dieselbe Richtung | Form und Größe bleiben gleich |
| Spiegelung | Figur wird an einer Achse gespiegelt | Form bleibt gleich, wird "umgeklappt" |
| Drehung | Figur wird um einen Punkt gedreht | Form und Größe bleiben gleich |
| Zentrische Streckung | Figur wird vergrößert oder verkleinert | Form bleibt gleich, Größe ändert sich |
Kongruenz vs. Ähnlichkeit: Bei Verschiebung, Spiegelung und Drehung sind Urbild und Bild kongruent (deckungsgleich). Bei zentrischer Streckung sind sie ähnlich (gleiche Form, verschiedene Größe).
Die vier Grundabbildungen
Es gibt vier grundlegende Arten von Abbildungen:
Verschiebe den Punkt \(P(2|3)\) um den Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\)
Ergebnis: Der Bildpunkt ist \(P'(5|5)\)
💡 Merke: Bei einer Verschiebung sind alle Verbindungsstrecken zwischen Urbildpunkt und Bildpunkt parallel und gleich lang!
Ähnlichkeit und Kongruenz
Zwei wichtige Begriffe bei Abbildungen:
- Kongruent (deckungsgleich): Zwei Figuren haben exakt dieselbe Form und Größe. Sie können durch Verschiebung, Spiegelung oder Drehung ineinander überführt werden.
- Ähnlich: Zwei Figuren haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe. Alle Winkel sind gleich, alle Seitenlängen haben dasselbe Verhältnis (Maßstab).
Strahlensätze: Die Strahlensätze beschreiben die Verhältnisse bei zentrischer Streckung. Sie sind wichtig für Berechnungen mit ähnlichen Figuren und für Maßstabsaufgaben.
Anwendungen im Alltag
- Maßstab: Landkarten und Baupläne verwenden zentrische Streckung
- Symmetrie: Spiegelungen sind grundlegend für Symmetriebetrachtungen
- Computergrafik: Alle Transformationen werden für Animationen und Spiele verwendet
- Architektur: Drehungen und Verschiebungen bei Mustern und Designs
Übungen
Teste dein Wissen zu geometrischen Abbildungen!
Welche Abbildung verändert die Größe einer Figur?
Zwei Figuren haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe. Wie nennt man sie?
Ein Dreieck wird um den Punkt \(Z(0|0)\) mit dem Faktor \(k = 2\) gestreckt. Ein Eckpunkt ist \(A(3|2)\). Wo liegt der Bildpunkt \(A'\)?