Was sind Winkelfunktionen?
Die Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) ordnen jedem Winkel ein bestimmtes Verhältnis von Dreiecksseiten zu. Sie sind besonders wichtig, um in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seiten oder Winkel zu berechnen.
Die drei grundlegenden Winkelfunktionen sind:
- Sinus (sin) - Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse
- Kosinus (cos) - Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse
- Tangens (tan) - Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete
Wichtig: Die Winkelfunktionen funktionieren nur in rechtwinkligen Dreiecken. Für allgemeine Dreiecke verwendet man den Sinus- und Kosinussatz.
Die drei Winkelfunktionen im Detail
| Funktion | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Sinus | \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) | Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse |
| Kosinus | \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) | Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse |
| Tangens | \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\) | Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete |
💡 Merkregel SOH-CAH-TOA:
- Sinus = Opposite / Hypotenuse (Gegenkathete / Hypotenuse)
- Cosinus = Adjacent / Hypotenuse (Ankathete / Hypotenuse)
- Tangens = Opposite / Adjacent (Gegenkathete / Ankathete)
Beispielrechnung
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Hypotenuse: \(c = 10\) cm
- Ankathete (zu Winkel α): \(b = 8\) cm
- Gegenkathete (zu Winkel α): \(a = 6\) cm
Berechne die Winkelfunktionen für Winkel α:
\(\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = 0{,}6\)
\(\cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = 0{,}8\)
\(\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0{,}75\)
Der Einheitskreis
Winkelfunktionen lassen sich auch am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) darstellen. Dabei gilt:
Für einen Winkel α im Einheitskreis:
- \(\sin(\alpha)\) entspricht der y-Koordinate
- \(\cos(\alpha)\) entspricht der x-Koordinate
- \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)
\(\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
\(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \quad \cos(60°) = 0{,}5\)
Übungen
Teste dein Wissen über Winkelfunktionen!
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm. Wie lautet \(\sin(\alpha)\)?
Welche Winkelfunktion berechnet man mit Gegenkathete geteilt durch Ankathete?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) und die Hypotenuse 15 cm. Wie lang ist die Ankathete?