Was sind Gleichungen?
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden sind. Unser Ziel ist es, die Variable (meist x) zu finden, die die Gleichung erfüllt.
Beispiele für Gleichungen:
- \(x + 5 = 12\) - eine einfache lineare Gleichung
- \(2x - 7 = 3x + 1\) - lineare Gleichung mit x auf beiden Seiten
- \(x^2 - 5x + 6 = 0\) - eine quadratische Gleichung
- \(\frac{x}{3} + 2 = 5\) - eine Bruchgleichung
Der Unterschied zu Termen: Eine Gleichung hat ein "=", ein Term nicht. Gleichungen können wahr oder falsch sein, Terme sind einfach nur Rechenausdrücke.
Arten von Gleichungen
| Art | Form | Beispiel |
|---|---|---|
| Lineare Gleichung | \(ax + b = c\) | \(3x + 5 = 14\) |
| Quadratische Gleichung | \(ax^2 + bx + c = 0\) | \(x^2 - 3x + 2 = 0\) |
| Bruchgleichung | Gleichung mit Brüchen | \(\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = 4\) |
| Betragsgleichung | Gleichung mit Betrag | \(|x - 2| = 5\) |
| Textgleichung | Gleichung aus Textaufgabe | Das Dreifache einer Zahl plus 5 ist 20 |
Grundprinzip: Gleichungen lösen
Das wichtigste Prinzip beim Lösen von Gleichungen:
Erlaubte Umformungen:
- Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren
- Beide Seiten mit der gleichen Zahl (≠ 0) multiplizieren oder dividieren
- Beide Seiten quadrieren (Vorsicht: kann zusätzliche Lösungen erzeugen!)
💡 Ziel: Die Variable x alleine auf einer Seite haben, sodass \(x = ...\) dasteht.
Beispiel: Lineare Gleichung lösen
\(3x + 7 - 7 = 19 - 7\)
\(3x = 12\)
\(\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}\)
\(x = 4\)
\(3 \cdot 4 + 7 = 12 + 7 = 19\) ✓
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen haben die Form \(ax^2 + bx + c = 0\). Sie haben meistens zwei Lösungen.
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]
Weitere Methoden:
- abc-Formel (Mitternachtsformel): Für allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Faktorisieren: z.B. \((x-2)(x+3) = 0\)
- Vieta-Formeln: Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizienten
- Quadratische Ergänzung: Umformen in \((x+d)^2 = e\)
Übungen
Teste dein Wissen über Gleichungen!
Löse: \(x + 9 = 15\)
Löse: \(2x - 5 = x + 3\)
Welche Art von Gleichung ist \(x^2 - 4x + 3 = 0\)?
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