Die Zinseszinsformel
\(K_0\) = Anfangskapital, \(p\) = Zinssatz in %, \(n\) = Anzahl Jahre, \(K_n\) = Endkapital
Der Ausdruck \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\) heißt Aufzinsungsfaktor oder Wachstumsfaktor \(q\):
Bei 3 % Zinsen: \(q = 1{,}03\) → Kurzform: \(K_n = K_0 \cdot q^n\)
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Zum Vergleich – so wächst das Kapital Jahr für Jahr:
| Jahr | Kapital Anfang | Zinsen (5 %) | Kapital Ende |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000,00 € | 50,00 € | 1.050,00 € |
| 2 | 1.050,00 € | 52,50 € | 1.102,50 € |
| 3 | 1.102,50 € | 55,13 € | 1.157,63 € |
Beachte: Die Zinsen steigen jedes Jahr! Im 1. Jahr 50 €, im 2. Jahr schon 52,50 €, im 3. Jahr 55,13 €. Das ist der Zinseszins-Effekt.
Einfache Zinsen vs. Zinseszins
| Eigenschaft | Einfache Zinsen | Zinseszins |
|---|---|---|
| Formel | \(K_n = K_0 + K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n\) | \(K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\) |
| Wachstum | Linear (gleicher Betrag pro Jahr) | Exponentiell (immer schneller) |
| Zinsen auf Zinsen? | Nein | Ja |
| Beispiel (1.000 €, 5 %, 10 J.) | 1.500 € | 1.628,89 € |
Umkehraufgaben
Anfangskapital berechnen
\(K_0 = \frac{1.200}{1{,}03^4} = \frac{1.200}{1{,}1255} \approx \mathbf{1.066{,}25}\) €
Laufzeit berechnen
Verdopplungszeit (72er-Regel)
Bei 6 % Zinsen: \(\frac{72}{6} = 12\) Jahre bis zur Verdopplung
Häufige Fehler vermeiden
- Prozent falsch einsetzen: 5 % = 0,05. Der Wachstumsfaktor ist \(1 + 0{,}05 = 1{,}05\), nicht 1,5!
- Einfache Zinsen statt Zinseszins: Bei Zinseszins wird \(q^n\) potenziert, nicht \(n\) multipliziert.
- Anfangskapital verwechseln: \(K_0\) ist das Kapital zu Beginn, \(K_n\) nach \(n\) Jahren.
- Klammern vergessen: \((1{,}05)^3\) ist nicht das Gleiche wie \(1{,}05 \cdot 3\)!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Wie lautet der Wachstumsfaktor bei 4 % Zinsen?
Was ist der Unterschied zwischen einfachen Zinsen und Zinseszins?
500 € zu 4 % für 2 Jahre. Endkapital? (gerundet)
Bei 6 % Zinsen: In wie vielen Jahren verdoppelt sich das Kapital ungefähr? (72er-Regel)
2.000 € zu 3 % für 5 Jahre. Endkapital? (gerundet)
Nach 3 Jahren bei 5 % hast du 1.157,63 €. Anfangskapital?