Die Formel
Halbwertszeit-Formel
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)
\(N_0\) = Anfangsmenge, \(t\) = vergangene Zeit, \(T\) = Halbwertszeit
| Nach ... Halbwertszeiten | Noch vorhanden | In Prozent |
|---|---|---|
| 0 | \(N_0\) | 100% |
| 1 | \(\frac{1}{2} N_0\) | 50% |
| 2 | \(\frac{1}{4} N_0\) | 25% |
| 3 | \(\frac{1}{8} N_0\) | 12,5% |
| 4 | \(\frac{1}{16} N_0\) | 6,25% |
| 10 | \(\frac{1}{1024} N_0\) | ≈ 0,1% |
Beispiele
Beispiel 1: Radioaktiver Zerfall
Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Anfangs: 400 mg.
1
Nach 8 Tagen: \(400 \cdot \frac{1}{2} = 200\) mg
2
Nach 16 Tagen: \(400 \cdot \frac{1}{4} = 100\) mg
3
Nach 24 Tagen: \(400 \cdot \frac{1}{8} = 50\) mg
Beispiel 2: Medikament im Körper
Ein Medikament hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Dosis: 500 mg. Wie viel ist nach 18 Stunden übrig?
1
\(\frac{t}{T} = \frac{18}{6} = 3\) Halbwertszeiten
2
\(N(18) = 500 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 500 \cdot \frac{1}{8} = \mathbf{62{,}5 \text{ mg}}\)
Beispiel 3: Nicht ganzzahlige Halbwertszeiten
Cäsium-137: \(T = 30\) Jahre. Wie viel von 1.000 g nach 50 Jahren?
1
\(N(50) = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{50}{30}} = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}67}\)
2
\(\approx 1000 \cdot 0{,}315 \approx \mathbf{315 \text{ g}}\) (Taschenrechner)
Halbwertszeit bestimmen
Halbwertszeit berechnen
\(T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)}\)
Oder einfacher: Wenn du weißt, nach wie vielen ganzen Halbwertszeiten ein bestimmter Anteil übrig ist.
Halbwertszeit vs. Verdopplungszeit
| Eigenschaft | Halbwertszeit | Verdopplungszeit |
|---|---|---|
| Prozess | Exponentielle Abnahme | Exponentielles Wachstum |
| Formel | \(N(t) = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{t/T}\) | \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\) |
| Beispiel | Radioaktiver Zerfall | Bakterienwachstum |
Häufige Fehler vermeiden
- „Nach 2 Halbwertszeiten ist alles weg": Nein! Es wird nie null – nach 2 HWZ sind noch 25% übrig.
- Lineare statt exponentielle Abnahme: Es werden nicht jedes Mal gleich viele weniger, sondern immer die Hälfte des Rests.
- Einheiten nicht beachten: \(t\) und \(T\) müssen in der gleichen Einheit sein (Stunden, Tage, Jahre...).
- Verwechslung mit Verdopplungszeit: Halbwertszeit = Abnahme, Verdopplungszeit = Wachstum.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Anfang: 800 g, T = 10 Tage. Wie viel nach 10 Tagen?
Aufgabe 2Leicht
Nach 3 Halbwertszeiten ist noch ... übrig:
Aufgabe 3Mittel
1.000 mg, T = 4 h. Wie viel nach 12 h?
Aufgabe 4Mittel
Von 2.000 g sind nach einer gewissen Zeit 250 g übrig. Wie viele Halbwertszeiten?
Aufgabe 5Schwer
Halbwertszeit beschreibt welchen Prozess?
Aufgabe 6Schwer
Jod-131 (T=8 Tage), Start: 600 mg. Wie viel nach 32 Tagen?
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