Was ist eine Potenz?
Potenz
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}\)
\(a\) = Basis, \(n\) = Exponent, \(a^n\) = Potenzwert
Beispiele
\(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)
\(5^2 = 5 \cdot 5 = 25\) (lies: „5 hoch 2" oder „5 zum Quadrat")
\(2^{10} = 1.024\)
Besondere Exponenten
| Exponent | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| \(a^1\) | \(= a\) | \(7^1 = 7\) |
| \(a^0\) | \(= 1\) (für \(a \neq 0\)) | \(5^0 = 1\), \(100^0 = 1\) |
| \(a^{-n}\) | \(= \frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) |
Die 5 Potenzgesetze
| Nr. | Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|---|
| 1 | Gleiche Basis multiplizieren | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\) |
| 2 | Gleiche Basis dividieren | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625\) |
| 3 | Potenz potenzieren | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((3^2)^3 = 3^6 = 729\) |
| 4 | Gleicher Exponent multiplizieren | \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\) | \(2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000\) |
| 5 | Gleicher Exponent dividieren | \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\) | \(\frac{6^2}{3^2} = 2^2 = 4\) |
⚠️ Achtung: Es gibt kein Potenzgesetz für Addition! \(a^n + a^n = 2a^n\), aber \(a^n + b^n \neq (a+b)^n\).
Anwendungsbeispiele
Beispiel: \(3^4 \cdot 3^2\) vereinfachen
1
Gleiche Basis (3) → Gesetz 1: Exponenten addieren
2
\(3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729\)
Beispiel: \(\frac{x^5}{x^2}\)
Gesetz 2: \(\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3\)
Beispiel: \((2x^3)^2\)
1
Exponent auf alle Faktoren verteilen: \(2^2 \cdot (x^3)^2\)
2
\(= 4 \cdot x^{3 \cdot 2} = 4x^6\)
Negative Basis
| Ausdruck | Ergebnis | Warum? |
|---|---|---|
| \((-2)^2\) | \(+4\) | Gerader Exponent → positiv |
| \((-2)^3\) | \(-8\) | Ungerader Exponent → negativ |
| \(-2^2\) | \(-4\) | Nur \(2^2 = 4\), dann Minus davor! |
⚠️ Klammern beachten: \((-3)^2 = 9\), aber \(-3^2 = -9\)! Ohne Klammer wird nur die Zahl potenziert, nicht das Vorzeichen.
Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen sind besonders nützlich für sehr große und sehr kleine Zahlen:
| Potenz | Wert | Vorsilbe |
|---|---|---|
| \(10^6\) | 1.000.000 (Million) | Mega |
| \(10^3\) | 1.000 (Tausend) | Kilo |
| \(10^0\) | 1 | — |
| \(10^{-2}\) | 0,01 (Hundertstel) | Zenti |
| \(10^{-3}\) | 0,001 (Tausendstel) | Milli |
Häufige Fehler vermeiden
- Exponenten addieren statt multiplizieren: Bei \((a^3)^2\) werden die Exponenten multipliziert (= \(a^6\)), nicht addiert.
- Verschiedene Basen: \(2^3 \cdot 3^4\) kann nicht vereinfacht werden – die Basen sind verschieden!
- \(a^0 = 0\) statt 1: Jede Zahl hoch 0 ist 1 (außer \(0^0\)).
- Klammern bei negativer Basis: \((-3)^2 = 9\) ≠ \(-3^2 = -9\)!
- Addition mit Potenzgesetz: \(3^2 + 3^3 \neq 3^5\). Es gibt kein Summengesetz!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
\(2^5 = \)?
Aufgabe 2Leicht
\(7^0 = \)?
Aufgabe 3Mittel
\(5^3 \cdot 5^2 = \)?
Aufgabe 4Mittel
\((-3)^2 = \)?
Aufgabe 5Schwer
Vereinfache: \((x^3)^4\)
Aufgabe 6Schwer
\(2^{-3} = \)?
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