Definition
Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form:
\(a\) = Startwert (Anfangswert), \(b\) = Basis (Wachstumsfaktor), \(b > 0\), \(b \neq 1\)
Der entscheidende Unterschied zu anderen Funktionen: Die Variable \(x\) steht im Exponenten, nicht in der Basis.
| Funktionstyp | Beispiel | Variable steht... |
|---|---|---|
| Exponentialfunktion | \(f(x) = 2^x\) | im Exponenten |
| Potenzfunktion | \(f(x) = x^2\) | in der Basis |
| Lineare Funktion | \(f(x) = 2x\) | als Faktor |
Wachstum und Zerfall
Je nachdem, ob die Basis \(b\) größer oder kleiner als 1 ist, beschreibt die Funktion Wachstum oder Zerfall:
| Basis | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| \(b > 1\) | Exponentielles Wachstum | \(f(x) = 2^x\) (Verdopplung) |
| \(0 < b < 1\) | Exponentieller Zerfall | \(f(x) = 0{,}5^x\) (Halbierung) |
| \(b = 1\) | Konstante Funktion | \(f(x) = 1^x = 1\) |
Warum „exponentiell"? Exponentielles Wachstum bedeutet: In gleichen Zeitabständen wird immer mit dem gleichen Faktor multipliziert. Das unterscheidet es vom linearen Wachstum, wo in gleichen Abständen immer der gleiche Betrag addiert wird.
Eigenschaften der Exponentialfunktion
| Eigenschaft | \(b > 1\) (Wachstum) | \(0 < b < 1\) (Zerfall) |
|---|---|---|
| y-Achsenabschnitt | \(f(0) = a\) | \(f(0) = a\) |
| Monotonie | Streng monoton steigend | Streng monoton fallend |
| Asymptote | \(y = 0\) (x-Achse) | \(y = 0\) (x-Achse) |
| Nullstelle | Keine | Keine |
| Wertebereich | \(f(x) > 0\) für alle \(x\) | \(f(x) > 0\) für alle \(x\) |
| Krümmung | Linksgekrümmt (konvex) | Linksgekrümmt (konvex) |
⚠️ Wichtig: Eine Exponentialfunktion wird nie null und nie negativ (wenn \(a > 0\)). Der Graph nähert sich der x-Achse immer weiter an, erreicht sie aber nie – die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Wertetabelle für \(f(x) = 2^x\)
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
Bei jedem Schritt nach rechts verdoppelt sich der Wert!
Beispiel 2: Bakterienwachstum
Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall
Die Eulersche Zahl e
Die wichtigste Basis in der Mathematik ist die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Die Funktion \(f(x) = e^x\) heißt natürliche Exponentialfunktion und hat eine besondere Eigenschaft: Sie ist ihre eigene Ableitung.
Besonderheit: \(f'(x) = e^x\) (Ableitung = Funktion selbst)
Umrechnung: Jede Exponentialfunktion lässt sich mit \(e\) schreiben: \(b^x = e^{x \cdot \ln(b)}\). Das ist besonders für die Analysis wichtig.
Wachstumsfaktor und Prozent
In Anwendungen wird das Wachstum oft in Prozent angegeben. Der Zusammenhang:
p = Wachstumsrate in Prozent
| Wachstum | Prozent \(p\) | Faktor \(b\) |
|---|---|---|
| +5% pro Jahr | \(p = 5\) | \(b = 1{,}05\) |
| +20% pro Jahr | \(p = 20\) | \(b = 1{,}20\) |
| −10% pro Jahr (Zerfall) | \(p = -10\) | \(b = 0{,}90\) |
| Verdopplung | \(p = 100\) | \(b = 2\) |
Wichtige Formeln
| Berechnung | Formel |
|---|---|
| Allgemeine Form | \(f(x) = a \cdot b^x\) |
| Natürliche Exp. | \(f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}\) |
| Wachstumsfaktor | \(b = 1 + \frac{p}{100}\) |
| Verdopplungszeit | \(t_2 = \frac{\ln 2}{\ln b}\) |
| Halbwertszeit | \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\ln \frac{1}{b}}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Exponential- mit Potenzfunktion verwechseln: Bei \(2^x\) steht \(x\) im Exponenten (Exponentialfunktion), bei \(x^2\) steht \(x\) in der Basis (Potenzfunktion).
- Nullstelle suchen: Exponentialfunktionen mit \(a > 0\) haben keine Nullstelle. Der Graph nähert sich der x-Achse nur an.
- Wachstumsfaktor statt Wachstumsrate: Bei 5% Wachstum ist der Faktor \(b = 1{,}05\), nicht \(0{,}05\)!
- Negative Basis verwenden: Die Basis muss positiv sein (\(b > 0\)), sonst ist die Funktion nicht für alle \(x\) definiert.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Was beschreibt \(f(x) = 3 \cdot 2^x\)?
Was ist \(f(0)\) bei \(f(x) = 5 \cdot 3^x\)?
Ein Kapital von 2.000 € wächst jährlich um 4%. Wie lautet die Funktion?
Welche Funktion beschreibt exponentiellen Zerfall?
200 Bakterien verdoppeln sich jede Stunde. Wie viele nach 4 Stunden?
Hat \(f(x) = 5 \cdot 2^x\) eine Nullstelle?