Einteilung nach Seiten
| Art | Seiten | Winkel | Besonderheit |
|---|---|---|---|
| Gleichseitig | a = b = c | α = β = γ = 60° | Alle Seiten und Winkel gleich |
| Gleichschenklig | 2 Seiten gleich | 2 Basiswinkel gleich | Symmetrieachse vorhanden |
| Ungleichseitig | Alle verschieden | Alle verschieden | Keine Symmetrie |
Merke: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig (sogar dreifach!) – aber nicht umgekehrt.
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die Basiswinkel (an der Basis) sind gleich groß.
Einteilung nach Winkeln
| Art | Winkel | Beschreibung |
|---|---|---|
| Spitzwinklig | Alle Winkel < 90° | Alle drei Winkel sind spitze Winkel |
| Rechtwinklig | Ein Winkel = 90° | Satz des Pythagoras anwendbar! |
| Stumpfwinklig | Ein Winkel > 90° | Genau ein Winkel ist stumpf |
⚠️ Wichtig: Ein Dreieck kann höchstens einen rechten oder stumpfen Winkel haben. Warum? Weil die Winkelsumme immer 180° beträgt: Zwei Winkel ≥ 90° würden bereits ≥ 180° ergeben.
Kombinationen
| Kombination | Möglich? | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleichseitig + spitzwinklig | ✓ Ja (immer!) | 3 × 60° → alle spitz |
| Gleichseitig + rechtwinklig | ✗ Nein | 60° ≠ 90° |
| Gleichschenklig + rechtwinklig | ✓ Ja | 45° – 90° – 45° |
| Gleichschenklig + stumpfwinklig | ✓ Ja | z. B. 20° – 140° – 20° |
| Ungleichseitig + rechtwinklig | ✓ Ja | z. B. 30° – 60° – 90° |
Das rechtwinklige Dreieck im Detail
\(c\) = Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)
| Begriff | Bedeutung |
|---|---|
| Hypotenuse | Längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel |
| Katheten | Die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel einschließen |
Dreiecksart erkennen
Seiten: a = b → gleichschenklig
Winkel: alle < 90° → spitzwinklig
→ Gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck
Häufige Fehler vermeiden
- Gleichseitig = gleichschenklig: Gleichseitig ist ein Spezialfall von gleichschenklig, aber nicht umgekehrt!
- Zwei stumpfe Winkel: Unmöglich! Maximal ein Winkel kann ≥ 90° sein.
- Rechtwinklig vergessen: Wenn ein Winkel genau 90° ist, muss Pythagoras gelten.
- Nur nach einer Eigenschaft einteilen: Immer nach Seiten UND Winkeln beschreiben.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Alle Seiten gleich lang. Welche Art?
Wie groß sind die Winkel im gleichseitigen Dreieck?
Winkel: 40°, 50°, 90°. Welche Art?
Kann ein Dreieck zwei stumpfe Winkel haben?
Gleichschenklig + rechtwinklig: Welche Winkel?
Was ist die Hypotenuse?