Der Winkelsummensatz
Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180°
Gilt immer! Egal ob das Dreieck gleichseitig, rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig ist – die Winkelsumme ist immer 180°.
Fehlenden Winkel berechnen
\(\gamma = 180° - 50° - 70° = \mathbf{60°}\)
\(\gamma = 180° - 90° - 35° = \mathbf{55°}\)
\(\beta = 180° - 120° - 25° = \mathbf{35°}\)
Dreiecksarten nach Winkeln
| Art | Eigenschaft | Beispiel |
|---|---|---|
| Spitzwinkliges Dreieck | Alle Winkel < 90° | 60°, 70°, 50° |
| Rechtwinkliges Dreieck | Ein Winkel = 90° | 90°, 45°, 45° |
| Stumpfwinkliges Dreieck | Ein Winkel > 90° | 120°, 30°, 30° |
| Gleichseitiges Dreieck | Alle Winkel = 60° | 60°, 60°, 60° |
⚠️ Warum nur ein stumpfer Winkel? Zwei Winkel über 90° ergäben zusammen schon über 180°. Das geht nicht, weil der dritte Winkel positiv sein muss!
Besondere Dreiecke
| Dreieck | Winkeleigenschaft |
|---|---|
| Gleichseitiges Dreieck | Alle drei Winkel = 60° |
| Gleichschenkliges Dreieck | Basiswinkel sind gleich: \(\alpha = \beta\) |
| Rechtwinkliges gleichschenkliges | Winkel: 90°, 45°, 45° |
Basiswinkel: \(\alpha = \beta = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = \mathbf{70°}\)
Außenwinkel
\(\gamma' = \alpha + \beta\) (mit \(\gamma' = 180° - \gamma\))
Außenwinkel bei C: \(\gamma' = 50° + 80° = \mathbf{130°}\)
Kontrolle: \(\gamma = 180° - 50° - 80° = 50°\), und \(\gamma' = 180° - 50° = 130°\) ✓
Häufige Fehler vermeiden
- 360° statt 180°: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°, nicht 360° (das wäre ein Viereck).
- Außen- und Innenwinkel verwechseln: Die 180°-Regel gilt für die Innenwinkel.
- Negative Winkel: Wenn dein berechneter Winkel negativ ist, hast du einen Fehler gemacht.
- Gleichschenkliges Dreieck: Die Basiswinkel sind gleich – nicht alle drei Winkel!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(\alpha = 40°\), \(\beta = 60°\). Wie groß ist \(\gamma\)?
Alle Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind:
Rechtwinkliges Dreieck mit \(\beta = 32°\). Wie groß ist \(\alpha\)? (\(\gamma = 90°\))
Gleichschenkliges Dreieck mit Spitzenwinkel \(\gamma = 50°\). Basiswinkel?
Ein Dreieck hat die Winkel \(\alpha\), \(2\alpha\) und \(3\alpha\). Wie groß ist \(\alpha\)?
Außenwinkel bei C ist 110°. \(\alpha = 40°\). Wie groß ist \(\beta\)?