Die Grundformel
Jedes Dreieck hat eine Grundseite \(g\) und eine dazugehörige Höhe \(h\). Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite und reicht bis zur gegenüberliegenden Ecke.
Grundseite × Höhe ÷ 2
Warum durch 2? Ein Dreieck ist immer genau die Hälfte eines Parallelogramms (oder Rechtecks). Wenn du ein Dreieck an der Höhe spiegelst, erhältst du ein Parallelogramm mit der Fläche \(g \cdot h\). Das Dreieck ist also die Hälfte davon.
Beispiel 1: Einfaches Dreieck
Beispiel 2: Größere Zahlen
\(A = \frac{12 \cdot 7}{2} = \frac{84}{2} = 42\) cm²
Die richtige Höhe finden
Der häufigste Fehler beim Flächeninhalt ist die falsche Höhe! Die Höhe muss immer senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen. Im Dreieck gibt es drei mögliche Paare aus Grundseite und Höhe:
| Grundseite | Zugehörige Höhe |
|---|---|
| Seite \(a\) | Höhe \(h_a\) (senkrecht auf \(a\)) |
| Seite \(b\) | Höhe \(h_b\) (senkrecht auf \(b\)) |
| Seite \(c\) | Höhe \(h_c\) (senkrecht auf \(c\)) |
Die Fläche ist immer gleich, egal welches Paar du verwendest:
\(\frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}\)
⚠️ Wichtig: Die Höhe ist nicht immer eine Seite des Dreiecks! Bei stumpfwinkligen Dreiecken kann die Höhe auch außerhalb des Dreiecks liegen (auf der Verlängerung der Grundseite).
Spezielle Dreiecke
Rechtwinkliges Dreieck
Beim rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Grundseite und Höhe, weil sie senkrecht aufeinander stehen:
(a und b sind die Katheten)
\(A = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24\) cm²
Gleichseitiges Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck (alle Seiten gleich lang = \(a\)) lässt sich die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Höhe: \(h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\)
\(A = \frac{10^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \cdot 1{,}732}{4} \approx 43{,}3\) cm²
Umkehraufgaben
Manchmal ist die Fläche gegeben und du musst die Grundseite oder Höhe berechnen:
\(h = \frac{2 \cdot 30}{12} = \frac{60}{12} = 5\) cm
Formel von Heron (mit drei Seiten)
Wenn du alle drei Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) kennst, aber keine Höhe, kannst du die Formel von Heron verwenden:
mit \(s = \frac{a + b + c}{2}\) (halber Umfang)
Fläche mit Sinus (zwei Seiten und Winkel)
Wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst:
\(\gamma\) ist der Winkel zwischen \(a\) und \(b\)
\(A = \frac{8 \cdot 6 \cdot \sin(30°)}{2} = \frac{8 \cdot 6 \cdot 0{,}5}{2} = \frac{24}{2} = 12\) cm²
Alle Formeln auf einen Blick
| Gegeben | Formel |
|---|---|
| Grundseite + Höhe | \(A = \frac{g \cdot h}{2}\) |
| Rechtwinkliges Dreieck | \(A = \frac{a \cdot b}{2}\) (Katheten) |
| Gleichseitiges Dreieck | \(A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\) |
| Drei Seiten (Heron) | \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) |
| Zwei Seiten + Winkel | \(A = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\gamma)}{2}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Das "÷ 2" vergessen: Ohne das Halbieren berechnest du die Fläche eines Parallelogramms, nicht eines Dreiecks!
- Falsche Höhe verwenden: Die Höhe muss senkrecht auf der Grundseite stehen. Eine Seite des Dreiecks ist nur dann die Höhe, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und du die richtige Seite wählst.
- Höhe und Seite verwechseln: Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks - verwechsle sie nicht mit einer Seitenlänge.
- Einheiten vergessen: Flächen haben immer Quadrateinheiten (cm², m²), nicht cm oder m.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
g = 10 cm, h = 6 cm. Wie groß ist die Fläche?
Warum teilt man bei der Dreiecksformel durch 2?
Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 5 cm und 12 cm. Fläche?
A = 36 cm², g = 9 cm. Wie groß ist h?
Gleichseitiges Dreieck mit a = 6 cm. Fläche? (gerundet)
Dreieck mit a = 7 cm, b = 8 cm und γ = 90°. Fläche?