Was bedeutet kongruent?
| Eigenschaft | Kongruent | Ähnlich |
|---|---|---|
| Gleiche Form | ✓ | ✓ |
| Gleiche Größe | ✓ | ✗ (kann vergrößert/verkleinert sein) |
| Gleiche Winkel | ✓ | ✓ |
| Gleiche Seitenlängen | ✓ | ✗ (im gleichen Verhältnis) |
Kongruenzabbildungen sind Bewegungen, die Figuren deckungsgleich machen: Verschiebung, Drehung, Spiegelung (und deren Kombinationen). Dabei bleiben alle Längen und Winkel gleich.
Die 4 Kongruenzsätze für Dreiecke
Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, brauchst du nicht alle 6 Stücke (3 Seiten + 3 Winkel). Es reichen 3 passende Angaben:
SSS – Seite, Seite, Seite
Dreieck 1: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm
Dreieck 2: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm → kongruent (SSS)
SWS – Seite, Winkel, Seite
a = 4 cm, γ = 60°, b = 6 cm → Dreieck ist eindeutig bestimmt
WSW – Winkel, Seite, Winkel
SSW – Seite, Seite, Winkel (gegenüber der größeren Seite)
⚠️ Achtung bei SSW: Liegt der Winkel gegenüber der kleineren Seite, gibt es möglicherweise zwei verschiedene Dreiecke (mehrdeutig)!
Was KEIN Kongruenzsatz ist
| Kombination | Kongruent? | Warum nicht? |
|---|---|---|
| WWW (3 Winkel) | ✗ Nein | Sagt nur die Form, nicht die Größe → nur ähnlich |
| SSA (Winkel gegenüber kleiner Seite) | ✗ Nicht immer | Kann zwei verschiedene Dreiecke ergeben |
Kongruenz und Konstruktion
Die Kongruenzsätze sagen dir auch, welche Angaben du brauchst, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren:
Häufige Fehler vermeiden
- WWW für Kongruenz halten: Drei gleiche Winkel bedeuten nur ähnlich, nicht kongruent!
- SWS – Winkel nicht eingeschlossen: Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen.
- Kongruent ≠ gleich: Kongruente Figuren dürfen gespiegelt oder gedreht sein.
- SSW-Mehrdeutigkeit vergessen: Nur sicher, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Was bedeutet „kongruent"?
Welcher Kongruenzsatz nutzt drei Seitenlängen?
Warum beweist WWW KEINE Kongruenz?
Bei SWS muss der Winkel:
Gegeben: a=5, b=7, α=40°. Welcher Kongruenzsatz?
Durch welche Abbildungen kann man kongruente Figuren aufeinander abbilden?