Definition
Drehung
Drehpunkt Z + Drehwinkel α + Drehsinn
Jeder Punkt P wird zu P' gedreht, wobei ZP = ZP' und ∠PZP' = α
| Element | Bedeutung |
|---|---|
| Drehpunkt Z | Fester Punkt, um den gedreht wird |
| Drehwinkel α | Um wie viel Grad gedreht wird |
| Drehsinn | Gegen den Uhrzeigersinn (+) oder im Uhrzeigersinn (−) |
Konvention: In der Mathematik ist der positive Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv).
Eigenschaften der Drehung
- Abstand zum Drehpunkt bleibt gleich: \(|ZP| = |ZP'|\)
- Figur behält Form und Größe (kongruente Abbildung)
- Winkel und Seitenlängen bleiben erhalten
- Der Drehpunkt selbst wird nicht bewegt
Spezielle Drehwinkel
| Winkel | Wirkung | Entspricht |
|---|---|---|
| 90° | Vierteldrehung | Rechter Winkel |
| 180° | Halbdrehung | Punktspiegelung! |
| 270° | Dreivierteldrehung | = −90° (im Uhrzeigersinn) |
| 360° | Volldrehung | Zurück am Ausgangspunkt |
⚠️ Wichtig: Eine Drehung um 180° um einen Punkt Z ist dasselbe wie eine Punktspiegelung an Z!
Konstruktion mit Zirkel
Punkt P um Z um Winkel α drehen
1
Strahl von Z durch P zeichnen
2
Mit dem Geodreieck den Winkel α an Z abtragen → neuer Strahl
3
Abstand ZP messen (Zirkel)
4
Gleichen Abstand auf dem neuen Strahl abtragen → P'
Drehung im Koordinatensystem
Drehung um den Ursprung um 90° (gegen Uhrzeiger)
\(P(x|y) \rightarrow P'(-y|x)\)
| Drehung um O | \(P(x|y)\) wird zu |
|---|---|
| 90° (gegen Uhrzeiger) | \(P'(-y|x)\) |
| 180° | \(P'(-x|-y)\) |
| 270° (= −90°) | \(P'(y|-x)\) |
Beispiel: P(3|2) um 90° drehen
\(P(3|2) \rightarrow P'(-2|3)\)
Drehsymmetrie
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung (kleiner als 360°) mit sich selbst übereinstimmt.
| Figur | Drehsymmetrie | Kleinster Winkel |
|---|---|---|
| Gleichseitiges Dreieck | 3-fach | 120° |
| Quadrat | 4-fach | 90° |
| Regelmäßiges Sechseck | 6-fach | 60° |
| Kreis | Unendlich-fach | Beliebig |
Häufige Fehler vermeiden
- Drehsinn verwechseln: Mathematisch positiv = gegen den Uhrzeigersinn!
- Abstand ändert sich: Nein! ZP = ZP' bleibt gleich.
- 180° ≠ Achsenspiegelung: 180° um einen Punkt = Punktspiegelung, nicht Achsenspiegelung.
- Koordinatenformeln nur für Ursprung: Die Formeln \((-y|x)\) etc. gelten nur für Drehung um \(O(0|0)\)!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Was bleibt bei einer Drehung gleich?
Aufgabe 2Leicht
Drehung um 180° entspricht einer:
Aufgabe 3Mittel
P(4|1) um 90° gegen Uhrzeigersinn um O:
Aufgabe 4Mittel
Welche Drehsymmetrie hat ein Quadrat?
Aufgabe 5Schwer
P(2|5) um 180° um O:
Aufgabe 6Schwer
270° gegen Uhrzeigersinn = ? im Uhrzeigersinn:
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