Achsenspiegelung

Bei der Achsenspiegelung wird jeder Punkt senkrecht zur Spiegelachse auf die andere Seite übertragen – mit dem gleichen Abstand.

Eigenschaft
Jeder Punkt und sein Spiegelbild haben den gleichen Abstand zur Spiegelachse

Die Verbindungslinie Punkt–Spiegelbild steht senkrecht auf der Achse

Spiegelung an der x-Achse

Regel
\(P(x|y) \rightarrow P'(x|-y)\)

Das x bleibt gleich, das y-Vorzeichen dreht sich um

Beispiel: \(A(3|5)\) an x-Achse spiegeln

\(A'(3|\mathbf{-5})\)

Spiegelung an der y-Achse

Regel
\(P(x|y) \rightarrow P'(-x|y)\)

Das y bleibt gleich, das x-Vorzeichen dreht sich um

Beispiel: \(B(-2|4)\) an y-Achse spiegeln

\(B'(\mathbf{2}|4)\)

Spiegelung an beliebiger Achse

So konstruierst du das Spiegelbild:
1
Von jedem Eckpunkt ein Lot auf die Spiegelachse fällen
2
Abstand messen (vom Punkt zum Lotfußpunkt)
3
Den gleichen Abstand auf der anderen Seite abtragen
4
Spiegelbildpunkte verbinden

Punktspiegelung

Bei der Punktspiegelung wird jeder Punkt durch das Spiegelzentrum Z hindurch auf die andere Seite übertragen.

Punktspiegelung am Ursprung
\(P(x|y) \rightarrow P'(-x|-y)\)

Beide Vorzeichen drehen sich um

Punktspiegelung an \(Z(z_1|z_2)\)
\(P'(2z_1 - x \;|\; 2z_2 - y)\)
Beispiel: \(P(4|2)\) am Punkt \(Z(1|3)\) spiegeln
1
\(x' = 2 \cdot 1 - 4 = -2\)
2
\(y' = 2 \cdot 3 - 2 = 4\)
3
\(P'(-2|4)\)

Achsen- vs. Punktspiegelung

EigenschaftAchsenspiegelungPunktspiegelung
SpiegelelementGerade (Achse)Punkt (Zentrum)
OrientierungUmkehr (Umlaufsinn)Gleichbleibend
An x-Achse / Ursprung\((x|y) → (x|-y)\)\((x|y) → (-x|-y)\)
Kongruenz✓ Figur bleibt deckungsgleich✓ Figur bleibt deckungsgleich
FixpunkteAlle Punkte auf der AchseNur das Zentrum

Wichtige Eigenschaften

  • Kongruenz: Original und Spiegelbild sind deckungsgleich (gleiche Form und Größe)
  • Abstände bleiben gleich: \(\overline{AB} = \overline{A'B'}\)
  • Winkel bleiben gleich: Alle Winkel bleiben erhalten
  • Achsenspiegelung kehrt den Umlaufsinn um: Aus „im Uhrzeigersinn" wird „gegen den Uhrzeigersinn"

Häufige Fehler vermeiden

  • x- und y-Achse verwechseln: An der x-Achse ändert sich das y-Vorzeichen, an der y-Achse das x-Vorzeichen!
  • Nicht senkrecht: Das Lot muss immer senkrecht auf der Spiegelachse stehen.
  • Abstand falsch: Der Spiegelpunkt muss den exakt gleichen Abstand zur Achse haben.
  • Punkt- und Achsenspiegelung verwechseln: Punktspiegelung = durch einen Punkt, Achsenspiegelung = an einer Geraden.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

\(P(2|7)\) an der x-Achse gespiegelt ergibt:

Aufgabe 2Leicht

\(Q(-3|5)\) an der y-Achse gespiegelt ergibt:

Aufgabe 3Mittel

\(A(4|−2)\) am Ursprung gespiegelt ergibt:

Aufgabe 4Mittel

Was bleibt bei einer Spiegelung erhalten?

Aufgabe 5Schwer

\(P(5|1)\) am Punkt \(Z(2|3)\) gespiegelt ergibt:

Aufgabe 6Schwer

Welche Spiegelung kehrt den Umlaufsinn um?

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