Definition
Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine Gerade (Symmetrieachse) sie in zwei deckungsgleiche Hälften teilt
Falttest: Falte die Figur entlang der vermuteten Achse. Liegen beide Hälften exakt übereinander? → Achsensymmetrisch!
Eigenschaften
- Jeder Punkt hat einen Spiegelpunkt auf der anderen Seite der Achse
- Punkt und Spiegelpunkt haben den gleichen Abstand zur Achse
- Die Verbindungslinie steht senkrecht auf der Symmetrieachse
- Punkte auf der Achse werden auf sich selbst abgebildet
Achsensymmetrische Figuren
| Figur | Anzahl Symmetrieachsen |
|---|---|
| Kreis | Unendlich viele (jeder Durchmesser) |
| Quadrat | 4 |
| Gleichseitiges Dreieck | 3 |
| Rechteck (kein Quadrat) | 2 |
| Gleichschenkliges Dreieck | 1 |
| Raute | 2 (die Diagonalen) |
| Drachen | 1 (Hauptdiagonale) |
| Parallelogramm (kein Rechteck) | 0 |
| Allgemeines Dreieck | 0 |
Spiegelpunkt konstruieren
Punkt P an Achse s spiegeln
1
Lot von P auf die Symmetrieachse s fällen → Lotfußpunkt F
2
Abstand PF messen
3
Gleichen Abstand auf der anderen Seite abtragen → Spiegelpunkt P'
Merke
Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke PP'
Im Koordinatensystem
| Spiegelung an | Punkt \((x|y)\) wird zu |
|---|---|
| y-Achse | \((-x|y)\) |
| x-Achse | \((x|-y)\) |
Beispiel: P(3|5) spiegeln
An der y-Achse: P'(−3|5)
An der x-Achse: P'(3|−5)
Achsensymmetrische Funktionen
Achsensymmetrie zur y-Achse
\(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\)
Gerade Funktionen: \(x^2, x^4, \cos(x)\)
Häufige Fehler vermeiden
- Achsensymmetrie ≠ Punktsymmetrie: Achse = Spiegelung an einer Geraden. Punkt = Drehung um 180°.
- Parallelogramm ist nicht achsensymmetrisch: Nur punktsymmetrisch (zum Mittelpunkt).
- Abstand falsch gemessen: Der Abstand wird immer senkrecht zur Achse gemessen.
- Symmetrieachsen zählen: Regelmäßiges n-Eck hat n Symmetrieachsen.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat?
Aufgabe 2Leicht
Was ist der Falttest?
Aufgabe 3Mittel
P(4|2) an der y-Achse gespiegelt:
Aufgabe 4Mittel
Welche Figur hat 0 Symmetrieachsen?
Aufgabe 5Schwer
Die Verbindung Punkt–Spiegelpunkt steht ... zur Achse:
Aufgabe 6Schwer
Wann ist \(f(x)\) achsensymmetrisch zur y-Achse?
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