Was sind rationale Zahlen?
Eine Zahl heißt rational, wenn sie sich als Bruch \(\frac{a}{b}\) schreiben lässt, wobei \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind und \(b \neq 0\).
Alle Zahlen, die als Bruch ganzer Zahlen darstellbar sind
Beispiele für rationale Zahlen
| Zahl | Als Bruch | Rational? |
|---|---|---|
| \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{3}{4}\) | ✓ Ja |
| \(-2{,}5\) | \(\frac{-5}{2}\) | ✓ Ja |
| \(7\) | \(\frac{7}{1}\) | ✓ Ja |
| \(0\) | \(\frac{0}{1}\) | ✓ Ja |
| \(0{,}333... = 0{,}\overline{3}\) | \(\frac{1}{3}\) | ✓ Ja |
| \(\sqrt{2} = 1{,}41421...\) | nicht möglich | ✗ Nein (irrational) |
| \(\pi = 3{,}14159...\) | nicht möglich | ✗ Nein (irrational) |
Einfache Regel: Jede Dezimalzahl, die endet oder sich periodisch wiederholt, ist eine rationale Zahl. Nur Dezimalzahlen, die endlos weitergehen ohne Muster, sind irrational.
Einordnung in die Zahlenbereiche
Die rationalen Zahlen enthalten alle bisherigen Zahlenbereiche:
Natürliche ⊂ Ganze ⊂ Rationale ⊂ Reelle Zahlen
| Zahlenbereich | Symbol | Beispiele |
|---|---|---|
| Natürliche Zahlen | ℕ | 1, 2, 3, 4, ... |
| Ganze Zahlen | ℤ | ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... |
| Rationale Zahlen | ℚ | \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), 0,75, −3 |
| Reelle Zahlen | ℝ | Alle Zahlen auf der Zahlengerade |
Das bedeutet: Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
Rationale Zahlen auf der Zahlengerade
Rationale Zahlen lassen sich auf der Zahlengerade darstellen. Zwischen je zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen – die Zahlengerade wird also „immer dichter".
Beispiel: Zwischen \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{3}{4}\) liegt z.B. \(\frac{5}{8}\). Zwischen \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{5}{8}\) liegt z.B. \(\frac{9}{16}\). Das geht unendlich weiter!
Ordnen von rationalen Zahlen
Um rationale Zahlen zu vergleichen, bringst du sie auf einen gemeinsamen Nenner oder rechnest sie in Dezimalzahlen um:
Rationale Zahlen als Dezimalzahlen
Jede rationale Zahl lässt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben:
| Bruch | Dezimalzahl | Art |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | \(0{,}25\) | Endlich |
| \(\frac{3}{8}\) | \(0{,}375\) | Endlich |
| \(\frac{1}{3}\) | \(0{,}\overline{3}\) | Reinperiodisch |
| \(\frac{1}{6}\) | \(0{,}1\overline{6}\) | Gemischtperiodisch |
| \(\frac{1}{7}\) | \(0{,}\overline{142857}\) | Reinperiodisch |
Umgekehrt gilt auch: Jede endliche oder periodische Dezimalzahl ist eine rationale Zahl. Nur nicht-periodische, unendliche Dezimalzahlen (wie \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\)) sind irrational.
Rechnen mit rationalen Zahlen
Mit rationalen Zahlen kannst du alle vier Grundrechenarten ausführen, und das Ergebnis ist wieder eine rationale Zahl (Division durch 0 ausgenommen).
Vorzeichen-Regeln
| Rechnung | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| \((+) \cdot (+)\) | \(= +\) | \(3 \cdot 4 = 12\) |
| \((-) \cdot (-)\) | \(= +\) | \((-3) \cdot (-4) = 12\) |
| \((+) \cdot (-)\) | \(= -\) | \(3 \cdot (-4) = -12\) |
| \((-) \cdot (+)\) | \(= -\) | \((-3) \cdot 4 = -12\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Ganze Zahlen vergessen: Auch ganze Zahlen wie 5 oder −3 sind rational, denn \(5 = \frac{5}{1}\).
- Periodische Dezimalzahlen für irrational halten: \(0{,}\overline{3}\) ist rational (= \(\frac{1}{3}\)). Nur nicht-periodische, unendliche Dezimalzahlen sind irrational.
- Vorzeichenfehler: Bei der Addition und Subtraktion negativer Brüche auf die Vorzeichen achten!
- Verwechslung ℚ und ℝ: ℚ enthält keine irrationalen Zahlen wie \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\). Erst ℝ enthält alle Zahlen.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Welche Zahl ist rational?
Wie schreibt man die ganze Zahl 5 als Bruch?
Welche Aussage stimmt?
Welche Dezimalzahl ist irrational (nicht rational)?
Welche Zahl ist größer: \(\frac{3}{5}\) oder \(\frac{7}{12}\)?
Berechne: \(-\frac{2}{3} + \frac{5}{6}\)