Die Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge beginnt mit 1 und 1. Jede weitere Zahl entsteht durch Addition der beiden vorangegangenen Zahlen:
mit \(F_1 = 1\) und \(F_2 = 1\)
| Position \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F_n\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
1 + 1 = 2 → 1 + 2 = 3 → 2 + 3 = 5 → 3 + 5 = 8 → 5 + 8 = 13 → ...
Fibonacci-Zahlen berechnen
Goldener Schnitt
Teilt man eine Fibonacci-Zahl durch ihre Vorgängerin, nähert sich das Ergebnis immer mehr dem goldenen Schnitt \(\varphi\) (Phi) an:
| Division | Ergebnis | Nähert sich... |
|---|---|---|
| 2 ÷ 1 | 2,000 | \(\varphi \approx 1{,}618\) |
| 3 ÷ 2 | 1,500 | |
| 5 ÷ 3 | 1,667 | |
| 8 ÷ 5 | 1,600 | |
| 13 ÷ 8 | 1,625 | |
| 21 ÷ 13 | 1,615 |
Der goldene Schnitt in Kunst und Architektur: Das Verhältnis 1 : 1,618 gilt als besonders harmonisch und ästhetisch. Es findet sich im Parthenon in Athen, in Gemälden von Leonardo da Vinci und sogar im Design moderner Logos.
Fibonacci in der Natur
Fibonacci-Zahlen tauchen erstaunlich oft in der Natur auf:
| Vorkommen | Fibonacci-Bezug |
|---|---|
| Sonnenblume | Spiralen verlaufen in 34 und 55 Reihen (beides Fibonacci-Zahlen) |
| Tannenzapfen | 8 Spiralen in eine Richtung, 13 in die andere |
| Blütenblätter | Lilien haben 3, Butterblumen 5, Margeriten 13 oder 21 Blütenblätter |
| Ananas | 8, 13 und 21 Spiralen |
| Schneckenhaus | Wächst in einer goldenen Spirale |
Spannende Eigenschaften
- Jede 3. Fibonacci-Zahl ist gerade: 2, 8, 34, 144, ...
- Jede 5. Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar: 5, 55, 610, ...
- Quadratsumme: \(F_1^2 + F_2^2 + ... + F_n^2 = F_n \cdot F_{n+1}\)
- Historisch: Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci) beschrieb die Folge 1202 in seinem Buch „Liber Abaci" – anhand eines Kaninchenvermehrungsproblems.
\(1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40\)
\(F_5 \cdot F_6 = 5 \cdot 8 = 40\) ✓
Häufige Fehler vermeiden
- Startwerte vergessen: Die Folge beginnt mit 1, 1 (nicht mit 0, 1 – obwohl manche Definitionen F₀ = 0 verwenden).
- Falsch addieren: Immer die beiden letzten Zahlen addieren, nicht etwa die erste und letzte.
- Goldenen Schnitt verwechseln: \(\varphi \approx 1{,}618\) ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, nicht deren Differenz.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Wie lautet die Fibonacci-Folge bis zur 7. Zahl?
Wie wird jede Fibonacci-Zahl berechnet?
Was ist die 10. Fibonacci-Zahl?
Welchem Wert nähert sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen?
Welche Zahl fehlt: 1, 1, 2, 3, 5, ?, 13, 21
Wie heißt das Verhältnis φ ≈ 1,618?