Eigenschaften der Kugel

EigenschaftBeschreibung
Radius \(r\)Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche
Durchmesser \(d\)\(d = 2r\) (doppelter Radius)
Ecken / KantenKeine – die Kugel ist komplett rund
SymmetrieUnendlich viele Symmetrieachsen (durch den Mittelpunkt)
QuerschnittJeder Schnitt durch den Mittelpunkt ergibt einen Großkreis

Kugel vs. Kreis: Ein Kreis ist eine Fläche (2D), eine Kugel ist ein Körper (3D). Die Kugel entsteht, wenn man einen Halbkreis um seinen Durchmesser dreht.

Volumen berechnen

Volumen Kugel
\(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\)
Beispiel: Fußball mit r = 11 cm
1
Formel: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\)
2
\(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 11^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1331\)
3
\(V \approx 5.575{,}3\) cm³ ≈ 5,6 Liter
Beispiel: Murmel mit d = 2 cm (also r = 1 cm)

\(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1^3 = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19\) cm³

Oberfläche berechnen

Oberfläche Kugel
\(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2\)

Die Oberfläche ist genau 4 × die Fläche des Großkreises

Beispiel: Globus mit r = 15 cm. Wie viel Material brauchst du?
1
\(O = 4 \cdot \pi \cdot 15^2 = 4 \cdot \pi \cdot 225 = 900\pi\)
2
\(O \approx 2.827{,}4\) cm²

Umkehraufgaben

Radius aus Volumen / Oberfläche
\(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\) bzw. \(r = \sqrt{\frac{O}{4\pi}}\)
Beispiel: V = 904,8 cm³. Radius?

\(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 904{,}8}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{2714{,}4}{12{,}566}} = \sqrt[3]{216} = 6\) cm

Kugel, Zylinder und Kegel im Vergleich

Archimedes entdeckte einen erstaunlichen Zusammenhang: Passen Kugel, Zylinder und Kegel in denselben Umkreis (gleicher Radius, gleiche Höhe = 2r), dann:

Volumenverhältnis
\(V_{\text{Kegel}} : V_{\text{Kugel}} : V_{\text{Zylinder}} = 1 : 2 : 3\)

Alle Formeln

BerechnungFormel
Volumen\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
Oberfläche\(O = 4\pi r^2\)
Durchmesser\(d = 2r\)
Radius aus V\(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\)
Radius aus O\(r = \sqrt{\frac{O}{4\pi}}\)

Häufige Fehler vermeiden

  • Radius und Durchmesser verwechseln: In den Formeln steht \(r\)! Bei Durchmesser \(d\) zuerst: \(r = \frac{d}{2}\).
  • \(\frac{4}{3}\) vergessen: Beim Volumen muss \(\frac{4}{3}\) vor \(\pi r^3\) stehen.
  • \(r^3\) statt \(r^2\) (oder umgekehrt): Volumen = \(r^3\), Oberfläche = \(r^2\).
  • Kugel und Kreis verwechseln: Kreisfläche = \(\pi r^2\), Kugeloberfläche = \(4\pi r^2\), Kugelvolumen = \(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Wie lautet die Formel für das Kugelvolumen?

Aufgabe 2Leicht

d = 10 cm. Wie groß ist r?

Aufgabe 3Mittel

Oberfläche einer Kugel mit r = 5 cm? (π ≈ 3,14)

Aufgabe 4Mittel

Volumen bei r = 3 cm? (π ≈ 3,14, gerundet)

Aufgabe 5Schwer

Wie verhalten sich Kegel, Kugel und Zylinder im Volumen (gleicher Radius, Höhe = 2r)?

Aufgabe 6Schwer

Ein Ball (d = 22 cm) soll mit Luft gefüllt werden. Wie viel cm³ fasst er? (gerundet)

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