Prisma: Volumen, Oberfläche und Eigenschaften

Was ist ein Prisma?

Ein Prisma entsteht, wenn du eine ebene Figur (das sogenannte Grundflächenprofil) senkrecht nach oben „hochziehst". Die wichtigsten Merkmale:

Merkmal	Beschreibung
Grundflächen	Zwei kongruente (deckungsgleiche) Vielecke, die parallel zueinander liegen
Mantelfläche	Besteht aus Rechtecken (bei geraden Prismen)
Höhe \(h\)	Senkrechter Abstand zwischen den Grundflächen
Querschnitt	An jeder Stelle gleich (wie die Grundfläche)

Benannt nach der Grundfläche: Ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche heißt „dreiseitiges Prisma", mit viereckiger Grundfläche „vierseitiges Prisma" usw. Ein Quader ist ein vierseitiges Prisma mit rechteckiger Grundfläche.

Beispiele aus dem Alltag

Dreiseitiges Prisma: Toblerone-Schachtel, Zeltdach, Keil. Sechsseitiges Prisma: Bleistift, Schraubenmutter, Bienenwabe.

Volumen berechnen

Das Volumen eines Prismas ist immer gleich: Grundfläche mal Höhe. Das gilt für jedes Prisma, egal welche Form die Grundfläche hat.

Volumen Prisma

\(V = G \cdot h\)

G = Grundfläche, h = Höhe des Prismas

Beispiel 1: Dreiseitiges Prisma

Beispiel: Grundfläche ist ein Dreieck mit g = 6 cm, h_D = 4 cm. Prisma-Höhe h = 10 cm

Grundfläche berechnen: \(G = \frac{g \cdot h_D}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12\) cm²

Volumen: \(V = G \cdot h = 12 \cdot 10\)

Ergebnis: \(V = 120\) cm³

Beispiel 2: Sechsseitiges Prisma

Beispiel: Regelmäßiges Sechseck mit a = 3 cm. Prisma-Höhe h = 8 cm

Grundfläche (regelmäßiges Sechseck): \(G = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 \approx 23{,}38\) cm²

Volumen: \(V = 23{,}38 \cdot 8 \approx 187\) cm³

Oberfläche berechnen

Die Oberfläche besteht aus den zwei Grundflächen und der Mantelfläche:

Oberfläche Prisma

\(O = 2 \cdot G + M\)

G = Grundfläche, M = Mantelfläche

Die Mantelfläche besteht aus den einzelnen Rechtecken an den Seiten. Sie lässt sich über den Umfang der Grundfläche berechnen:

Mantelfläche Prisma

\(M = U_G \cdot h\)

U_G = Umfang der Grundfläche, h = Höhe des Prismas

Beispiel: Oberfläche eines dreiseitigen Prismas

Beispiel: Gleichseitiges Dreieck mit a = 5 cm, Prisma-Höhe h = 12 cm

Grundfläche: \(G = \frac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 10{,}83\) cm²

Umfang: \(U_G = 3 \cdot 5 = 15\) cm

Mantelfläche: \(M = 15 \cdot 12 = 180\) cm²

Oberfläche: \(O = 2 \cdot 10{,}83 + 180 \approx 201{,}66\) cm²

Netz eines Prismas

Das Netz ist die „aufgeklappte" Oberfläche eines Prismas. Es besteht aus den zwei Grundflächen und den Rechtecken der Mantelfläche. Wenn du das Netz zusammenfaltest, erhältst du wieder das Prisma.

Tipp zum Zeichnen: Zeichne zuerst die Mantelfläche als ein langes Rechteck (Umfang × Höhe). Dann zeichne oben und unten die Grundfläche an eine der Kanten.

Umkehraufgaben

Umgestellte Formeln

\(h = \frac{V}{G}\) bzw. \(G = \frac{V}{h}\)

Beispiel: V = 240 cm³, Grundfläche G = 30 cm². Höhe?

\(h = \frac{240}{30} = 8\) cm

Beispiel: V = 500 cm³, h = 20 cm. Wie groß muss die Grundfläche sein?

\(G = \frac{500}{20} = 25\) cm²

Alle Formeln auf einen Blick

Berechnung	Formel
Volumen	\(V = G \cdot h\)
Oberfläche	\(O = 2G + M\)
Mantelfläche	\(M = U_G \cdot h\)
Höhe (umgestellt)	\(h = \frac{V}{G}\)
Grundfläche (umgestellt)	\(G = \frac{V}{h}\)

Häufige Fehler vermeiden

Grundfläche vergessen zu berechnen: Du brauchst zuerst die Fläche des Grundflächenprofils (Dreieck, Sechseck usw.), bevor du das Volumen berechnen kannst.
Höhe des Prismas mit Höhe der Grundfläche verwechseln: Bei einem dreiseitigen Prisma gibt es die Dreieckshöhe (für die Grundfläche) und die Prismahöhe (für das Volumen) – das sind verschiedene Größen!
Oberfläche = Mantelfläche: Die Oberfläche enthält auch die beiden Grundflächen: \(O = 2G + M\), nicht nur \(M\).
Einheiten verwechseln: Volumen in cm³ (Kubik), Oberfläche in cm² (Quadrat).

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