📐 Geometrie 3.-4. Klasse

Zylinder: Volumen, Oberfläche und Mantelfläche

Der Zylinder ist ein Körper mit zwei kreisförmigen Grundflächen und einer gekrümmten Mantelfläche. Getränkedosen, Kerzen, Rohre – Zylinder begegnen dir überall. Hier lernst du alle Formeln und Berechnungen.

Eigenschaften des Zylinders

Ein gerader Kreiszylinder (kurz: Zylinder) entsteht, wenn man einen Kreis senkrecht nach oben „hochzieht":

Eigenschaft	Beschreibung
Grundflächen	Zwei kongruente Kreise (oben und unten)
Mantelfläche	Gekrümmte Fläche, die die Kreise verbindet
Radius \(r\)	Radius der Grundkreise
Höhe \(h\)	Senkrechter Abstand zwischen den Grundflächen
Netz	Zwei Kreise + ein Rechteck (aufgerollter Mantel)

Zylinder als „rundes Prisma": Der Zylinder verhält sich zum Prisma wie der Kreis zum Vieleck. Die Volumenformel ist dieselbe: Grundfläche × Höhe.

Volumen berechnen

Das Volumen ist die Grundfläche (Kreisfläche) mal die Höhe:

Volumen Zylinder

\(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

oder: \(V = G \cdot h\) mit \(G = \pi r^2\)

Beispiel 1: Einfacher Zylinder

Beispiel: r = 5 cm, h = 10 cm

Formel: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Einsetzen: \(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 250\)

Ergebnis: \(V \approx 785{,}4\) cm³

Beispiel 2: Getränkedose

Beispiel: Dose mit d = 6,6 cm und h = 11,5 cm. Wie viel ml fasst sie?

\(r = \frac{d}{2} = 3{,}3\) cm

\(V = \pi \cdot 3{,}3^2 \cdot 11{,}5 \approx 393{,}4\) cm³

1 cm³ = 1 ml → \(V \approx 393\) ml

Mantelfläche berechnen

Wenn du den Mantel eines Zylinders „aufrollst", erhältst du ein Rechteck. Seine Breite ist der Umfang des Grundkreises, seine Höhe ist die Zylinderhöhe:

Mantelfläche Zylinder

\(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\)

Umfang × Höhe

Beispiel: r = 4 cm, h = 12 cm

\(M = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \approx 301{,}6\) cm²

Oberfläche berechnen

Die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche plus den zwei Kreisflächen:

Oberfläche Zylinder

\(O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2\)

= Mantelfläche + 2 × Grundfläche = \(2\pi r(h + r)\)

Beispiel: r = 3 cm, h = 8 cm

Mantelfläche: \(M = 2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150{,}8\) cm²

Grundflächen: \(2G = 2\pi \cdot 3^2 = 18\pi \approx 56{,}5\) cm²

Oberfläche: \(O = 150{,}8 + 56{,}5 \approx 207{,}3\) cm²

Umkehraufgaben

Umgestellte Formeln

\(h = \frac{V}{\pi r^2}\) bzw. \(r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}\)

Beispiel: V = 500 cm³, r = 4 cm. Wie hoch?

\(h = \frac{500}{\pi \cdot 16} = \frac{500}{50{,}27} \approx 9{,}95\) cm

Alle Formeln auf einen Blick

Berechnung	Formel
Volumen	\(V = \pi r^2 h\)
Mantelfläche	\(M = 2\pi r h\)
Oberfläche	\(O = 2\pi r(h + r)\)
Grundfläche	\(G = \pi r^2\)
Höhe (umgestellt)	\(h = \frac{V}{\pi r^2}\)
Radius (umgestellt)	\(r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}\)

Häufige Fehler vermeiden

Radius und Durchmesser verwechseln: In den Formeln steht \(r\) (Radius). Wenn der Durchmesser \(d\) gegeben ist: \(r = \frac{d}{2}\).
Mantelfläche = Oberfläche: Die Oberfläche enthält auch die zwei Grundkreise! \(O = M + 2G\).
π vergessen: In allen Zylinderformeln kommt \(\pi\) vor – das darf nicht vergessen werden.
Einheiten verwechseln: Volumen in cm³, Flächen in cm². Für Liter: 1 Liter = 1.000 cm³.

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