Voraussetzung: Strahlensatzfigur

Für die Strahlensätze brauchst du immer:

  • Einen Scheitelpunkt Z (Zentrum)
  • Zwei Strahlen, die von Z ausgehen
  • Zwei parallele Geraden, die diese Strahlen schneiden

Merke: Ohne parallele Geraden kein Strahlensatz! Prüfe immer zuerst, ob Parallelität gegeben ist.

1. Strahlensatz

Der 1. Strahlensatz betrifft die Abschnitte auf demselben Strahl:

1. Strahlensatz
\(\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZA'}{ZB'}\) oder \(\frac{ZA}{AA'} = \frac{ZB}{BB'}\)

Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl

Beispiel: ZA = 3, ZB = 6, ZA' = 5. Gesucht: ZB'
1
\(\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZA'}{ZB'}\) → \(\frac{3}{6} = \frac{5}{ZB'}\)
2
\(ZB' = \frac{6 \cdot 5}{3} = \mathbf{10}\)

2. Strahlensatz

Der 2. Strahlensatz betrifft die Abschnitte auf den parallelen Geraden:

2. Strahlensatz
\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{ZA}{ZA'} = \frac{ZB}{ZB'}\)

Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf den Strahlen

Beispiel: AB = 4, ZA = 6, ZA' = 9. Gesucht: A'B'
1
\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{ZA}{ZA'}\) → \(\frac{4}{A'B'} = \frac{6}{9}\)
2
\(A'B' = \frac{4 \cdot 9}{6} = \mathbf{6}\)

Typische Anwendung: Baumhöhe

Beispiel: Wie hoch ist der Baum?

Ein 1,80 m großer Mensch wirft einen 2 m langen Schatten. Der Baum wirft gleichzeitig einen 8 m langen Schatten.

1
Strahlensatz-Verhältnis: \(\frac{\text{Höhe Mensch}}{\text{Schatten Mensch}} = \frac{\text{Höhe Baum}}{\text{Schatten Baum}}\)
2
\(\frac{1{,}80}{2} = \frac{h}{8}\)
3
\(h = \frac{1{,}80 \cdot 8}{2} = \mathbf{7{,}20}\) m

Umkehrung des Strahlensatzes

Die Umkehrung ist besonders nützlich, um Parallelität nachzuweisen:

Umkehrung
Wenn \(\frac{ZA}{ZA'} = \frac{ZB}{ZB'}\), dann sind \(AB \parallel A'B'\)

Häufige Fehler vermeiden

  • Parallelität nicht geprüft: Der Strahlensatz gilt nur, wenn die Geraden parallel sind!
  • Verhältnisse falsch aufgestellt: Achte darauf, dass im Zähler und Nenner die zusammengehörigen Abschnitte stehen.
  • Teilstrecke statt Gesamtstrecke: \(ZA\) ist der Abschnitt von Z bis A, nicht die Gesamtlänge bis A'.
  • Kreuzregel vergessen: Löse Verhältnisgleichungen über Kreuz auf: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) → \(a \cdot d = b \cdot c\).

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Was ist Voraussetzung für den Strahlensatz?

Aufgabe 2Leicht

\(\frac{3}{x} = \frac{6}{10}\). Was ist x?

Aufgabe 3Mittel

ZA = 4, ZA' = 10, ZB = 6. Wie lang ist ZB'?

Aufgabe 4Mittel

Ein Stab (1,5 m) wirft 3 m Schatten. Ein Turm wirft 20 m Schatten. Turmhöhe?

Aufgabe 5Schwer

AB = 5, A'B' = 8, ZA = 10. Wie lang ist ZA'?

Aufgabe 6Schwer

ZA = 3, AA' = 6, ZB = 5. Wie lang ist BB'?

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