Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn gilt: Wird die eine verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere. Wird die eine halbiert, halbiert sich auch die andere.

Direkte Proportionalität
\(y = k \cdot x\) → der Quotient \(\frac{y}{x} = k\) ist konstant

„Je mehr, desto mehr" – \(k\) heißt Proportionalitätsfaktor

Beispiel: Äpfel kaufen
Anzahl Äpfel123510
Preis (€)0,501,001,502,505,00

Quotient: \(\frac{0{,}50}{1} = \frac{1{,}00}{2} = \frac{1{,}50}{3} = 0{,}50\) → konstant ✓ → direkt proportional mit \(k = 0{,}50\)

Erkennungsmerkmal: Der Graph einer direkten Proportionalität ist eine Gerade durch den Ursprung (0|0).

Indirekte (umgekehrte) Proportionalität

Zwei Größen sind indirekt proportional, wenn gilt: Wird die eine verdoppelt, halbiert sich die andere. Das Produkt bleibt konstant.

Indirekte Proportionalität
\(y = \frac{k}{x}\) → das Produkt \(x \cdot y = k\) ist konstant

„Je mehr, desto weniger"

Beispiel: Arbeiter und Tage

Ein Zaun soll gebaut werden:

Arbeiter1236
Tage12642

Produkt: \(1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 6 \cdot 2 = 12\) → konstant ✓ → indirekt proportional

Direkt vs. indirekt

EigenschaftDirekte ProportionalitätIndirekte Proportionalität
PrinzipJe mehr, desto mehrJe mehr, desto weniger
KonstanteQuotient \(\frac{y}{x} = k\)Produkt \(x \cdot y = k\)
Formel\(y = k \cdot x\)\(y = \frac{k}{x}\)
GraphGerade durch UrsprungHyperbel
BeispielPreis steigt mit MengeMehr Arbeiter → weniger Zeit

Dreisatz

Der Dreisatz nutzt die Proportionalität, um unbekannte Werte zu berechnen:

Direkter Dreisatz

Beispiel: 3 kg Äpfel kosten 4,50 €. Was kosten 5 kg?
1
3 kg → 4,50 €
2
1 kg → \(\frac{4{,}50}{3} = 1{,}50\) €
3
5 kg → \(5 \cdot 1{,}50 = \mathbf{7{,}50}\) €

Indirekter Dreisatz

Beispiel: 4 Arbeiter brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 8 Arbeiter?
1
4 Arbeiter → 6 Tage (Produkt: \(4 \cdot 6 = 24\))
2
1 Arbeiter → \(24\) Tage (mehr Arbeit pro Person!)
3
8 Arbeiter → \(\frac{24}{8} = \mathbf{3}\) Tage

Proportionalität erkennen

So prüfst du:
1
Berechne für jedes Wertepaar den Quotienten \(\frac{y}{x}\)
2
Alle gleich? → Direkte Proportionalität
3
Nicht gleich? Berechne das Produkt \(x \cdot y\)
4
Alle gleich? → Indirekte Proportionalität

Häufige Fehler vermeiden

  • Direkt und indirekt verwechseln: Frage dich immer: Wird das Ergebnis größer oder kleiner, wenn die andere Größe wächst?
  • Nicht durch Ursprung: Direkte Proportionalität geht immer durch (0|0). Wenn nicht, ist es nur „linear", aber nicht proportional.
  • Dreisatz-Richtung falsch: Beim indirekten Dreisatz multiplizierst du im 2. Schritt (statt zu teilen).
  • Keine Proportionalität annehmen: Nicht alle Zusammenhänge sind proportional! z. B. Alter und Größe.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

„Je mehr Benzin, desto weiter kommt man." Welche Art?

Aufgabe 2Leicht

Was ist bei direkter Proportionalität konstant?

Aufgabe 3Mittel

5 Brötchen kosten 3,50 €. Was kosten 8 Brötchen?

Aufgabe 4Mittel

6 Maler streichen ein Haus in 4 Tagen. Wie lange brauchen 3 Maler?

Aufgabe 5Schwer

x: 2, 4, 6; y: 10, 20, 30. Proportionalitätsfaktor k?

Aufgabe 6Schwer

Geschwindigkeit 60 km/h → 3 Stunden. Geschwindigkeit 90 km/h → wie viele Stunden?

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