Definition
\(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) bedeutet: gleiche Form, möglicherweise andere Größe
| Ähnlich | Kongruent |
|---|---|
| Gleiche Form | Gleiche Form UND gleiche Größe |
| Seiten proportional | Seiten gleich lang |
| Winkel gleich | Winkel gleich |
| Symbol: \(\sim\) | Symbol: \(\cong\) |
Merke: Kongruente Dreiecke sind immer auch ähnlich (Seitenverhältnis = 1). Ähnliche Dreiecke sind aber nicht unbedingt kongruent.
Seitenverhältnis (Ähnlichkeitsfaktor)
Alle entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis
Dreieck 1: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
Dreieck 2: a' = 6 cm, b' = 8 cm, c' = 10 cm
Ähnlichkeitsfaktor: \(k = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2\) → Dreieck 2 ist doppelt so groß
Ähnlichkeitssätze
| Satz | Bedingung | Erklärung |
|---|---|---|
| WWW | 2 Winkel gleich | Reicht! Der 3. Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme. |
| SWS | 2 Seiten proportional + eingeschlossener Winkel gleich | Verhältnis und Winkel passen zusammen. |
| SSS | Alle 3 Seiten proportional | Alle Verhältnisse gleich. |
Am wichtigsten: WWW! Es reichen schon 2 gleiche Winkel, um Ähnlichkeit zu beweisen (der dritte ist dann automatisch auch gleich).
Fehlende Seiten berechnen
\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) mit a = 4, b = 6, d = 10. Gesucht: e
\(\frac{a}{d} = \frac{b}{e}\) → \(\frac{4}{10} = \frac{6}{e}\) → \(e = \frac{6 \cdot 10}{4} = 15\)
Flächenverhältnis
Ähnlichkeitsfaktor k = 2 → Fläche wird 4-mal so groß!
Anwendungen
- Strahlensatz: Basiert auf ähnlichen Dreiecken
- Höhenmessung: Schatten + Sonnenstrahlen → ähnliche Dreiecke
- Maßstab: Landkarten und Modelle nutzen Ähnlichkeit
- Trigonometrie: sin, cos, tan basieren auf Seitenverhältnissen ähnlicher Dreiecke
Häufige Fehler vermeiden
- Ähnlich ≠ kongruent: Ähnlich = gleiche Form. Kongruent = gleiche Form + gleiche Größe.
- Entsprechende Seiten verwechseln: Immer Seiten gegenüber gleicher Winkel vergleichen!
- Flächenverhältnis ≠ Seitenverhältnis: Fläche wächst mit k², nicht mit k.
- Nur 1 Winkel prüfen: Für WWW brauchst du mindestens 2 gleiche Winkel.
Übungen
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Ähnlich bedeutet:
Wie viele gleiche Winkel braucht man für Ähnlichkeit (WWW)?
Seiten 3, 4, 5 und 9, 12, 15. Ähnlichkeitsfaktor?
k = 2. Um wie viel wächst die Fläche?
△ABC ~ △DEF. a=5, b=8, d=15. e = ?
Sind kongruente Dreiecke immer auch ähnlich?