📊 Statistik 3.-4. Klasse

Kombinatorik Grundlagen

Die Kombinatorik beantwortet die Frage: „Wie viele Möglichkeiten gibt es?" Ob Passwörter, Sitzordnungen oder Lottozahlen – mit den richtigen Zählprinzipien kannst du die Anzahl der Möglichkeiten systematisch bestimmen.

Die Produktregel

Produktregel (Fundamentalprinzip)

Anzahl = \(n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot ...\)

Wenn mehrere Entscheidungen nacheinander getroffen werden, multipliziere die Möglichkeiten

Beispiel: Outfit

3 Hosen, 5 T-Shirts, 2 Paar Schuhe.

Mögliche Outfits: \(3 \cdot 5 \cdot 2 = \mathbf{30}\)

Beispiel: PIN-Code (4 Ziffern, 0–9)

Jede Stelle: 10 Möglichkeiten → \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = \mathbf{10.000}\)

Die Fakultät

Fakultät

\(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\)

Lies: „n Fakultät". Per Definition gilt: \(0! = 1\)

\(n\)	\(n!\)	Berechnung
1	1	1
2	2	2 · 1
3	6	3 · 2 · 1
4	24	4 · 3 · 2 · 1
5	120	5 · 4 · 3 · 2 · 1
6	720	6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
10	3.628.800	wächst extrem schnell!

Permutation (Anordnungen)

Permutation

\(n\) Objekte anordnen → \(n!\) Möglichkeiten

Frage: Auf wie viele Arten kann man \(n\) Dinge in eine Reihenfolge bringen?

Beispiel: 4 Schüler auf 4 Stühle

1. Stuhl: 4 Möglichkeiten

2. Stuhl: 3 übrig

3. Stuhl: 2 übrig

4. Stuhl: 1 übrig

✓

\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{24}\) Anordnungen

Variation (Auswahl mit Reihenfolge)

Variation ohne Wiederholung

\(k\) aus \(n\) auswählen (Reihenfolge wichtig): \(\frac{n!}{(n-k)!}\)

Beispiel: 3 Medaillen (Gold, Silber, Bronze) für 10 Sportler

\(\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = \mathbf{720}\) Möglichkeiten

Kombination (Auswahl ohne Reihenfolge)

Kombination ohne Wiederholung (Binomialkoeffizient)

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)

\(k\) aus \(n\) auswählen, Reihenfolge egal

Beispiel: 3 Schüler aus 10 für ein Team wählen

\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}\)

Welche Formel wann?

Frage	Reihenfolge?	Formel
Alle anordnen	Ja	\(n!\) (Permutation)
\(k\) aus \(n\) auswählen	Ja	\(\frac{n!}{(n-k)!}\) (Variation)
\(k\) aus \(n\) auswählen	Nein	\(\binom{n}{k}\) (Kombination)
Mehrere Entscheidungen	–	Produktregel

Eselsbrücke: Reihenfolge wichtig? → Variation. Reihenfolge egal? → Kombination. Alles anordnen? → Permutation.

Häufige Fehler vermeiden

Reihenfolge übersehen: „Team bilden" = Kombination (egal wer zuerst). „Platzierung" = Variation (Reihenfolge wichtig).
Mit/ohne Wiederholung verwechseln: PIN-Code = mit Wiederholung. Lotto = ohne Wiederholung.
Fakultät falsch berechnen: \(5! = 120\), nicht \(5! = 5 \cdot 4 = 20\) → alle Faktoren bis 1 multiplizieren!
0! vergessen: \(0! = 1\) (per Definition), nicht 0.

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