📊 Statistik 2.-3. Klasse

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

Wie wahrscheinlich ist es, eine 6 zu würfeln? Wie stehen die Chancen, im Lotto zu gewinnen? Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hilft dir, solche Fragen mit Zahlen zu beantworten. Hier lernst du die Grundbegriffe und wie du einfache Wahrscheinlichkeiten berechnest.

Grundbegriffe

Begriff	Bedeutung	Beispiel (Würfel)
Zufallsexperiment	Vorgang mit unsicherem Ausgang	Einmal würfeln
Ergebnis	Ein möglicher Ausgang	z. B. „eine 3"
Ergebnismenge \(\Omega\)	Alle möglichen Ergebnisse	\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis \(E\)	Teilmenge von \(\Omega\)	„gerade Zahl" = \(\{2, 4, 6\}\)
Günstiges Ergebnis	Ergebnis, das zum Ereignis gehört	2, 4 und 6 sind günstig

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. fairer Würfel, faire Münze), gilt die Laplace-Formel:

Laplace-Formel

\(P(E) = \frac{\text{Anzahl günstige Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}} = \frac{|E|}{|\Omega|}\)

Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln

Günstige Ergebnisse: \(\{6\}\) → 1 Stück

Mögliche Ergebnisse: \(\{1,2,3,4,5,6\}\) → 6 Stück

\(P(\text{6}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%\)

Beispiel: Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl beim Würfeln

Günstige Ergebnisse: \(\{2, 4, 6\}\) → 3 Stück

\(P(\text{gerade}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%\)

Wertebereich

Die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1 (bzw. 0 % und 100 %):

Wertebereich

\(0 \leq P(E) \leq 1\)

Wert	Bedeutung	Beispiel
\(P = 0\)	Unmögliches Ereignis	Würfel zeigt 7
\(P = 0{,}5\)	Gleichwahrscheinlich	Münze: Kopf oder Zahl
\(P = 1\)	Sicheres Ereignis	Würfel zeigt eine Zahl von 1-6

Gegenereignis

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) enthält alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören:

Gegenereignis

\(P(\bar{E}) = 1 - P(E)\)

Die Wahrscheinlichkeiten von E und Gegen-E ergeben zusammen 1 (100 %)

Beispiel: Wahrscheinlichkeit, KEINE 6 zu würfeln

\(P(\text{keine 6}) = 1 - P(\text{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\%\)

Tipp: Manchmal ist es einfacher, zuerst das Gegenereignis zu berechnen und dann von 1 abzuziehen!

Darstellungsformen

Darstellung	Wert
Bruch	\(\frac{1}{6}\)
Dezimalzahl	\(0{,}1\overline{6}\)
Prozent	\(16{,}\overline{6}\%\)

In der Schule wird häufig mit Brüchen gerechnet, im Alltag eher mit Prozent.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Wird ein Zufallsexperiment mehrmals durchgeführt (z. B. zweimal würfeln), nutzt du Baumdiagramme und die Pfadregeln:

1. Pfadregel (Produktregel)

Wahrscheinlichkeit eines Pfades = Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten

2. Pfadregel (Summenregel)

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten

Beispiel: Zweimal Münze werfen – P(genau 1× Kopf)?

Günstige Pfade: Kopf-Zahl und Zahl-Kopf

Pfad KZ: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Pfad ZK: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(P(\text{genau 1× K}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 50\%\)

Häufige Fehler vermeiden

Wahrscheinlichkeit > 1: Unmöglich! Wenn dein Ergebnis größer als 1 (oder > 100 %) ist, hast du einen Fehler gemacht.
Nicht gleich wahrscheinlich: Die Laplace-Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem gezinkten Würfel nicht!
Günstig und möglich verwechseln: „Günstig" sind die Ergebnisse, die du suchst. „Möglich" sind alle Ergebnisse.
Pfadregeln verwechseln: Entlang eines Pfades: multiplizieren. Verschiedene Pfade für dasselbe Ereignis: addieren.

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