Volumen berechnen

Volumen zusammengesetzter Körper
\(V_{gesamt} = V_1 + V_2 + V_3 + ...\)

Teilvolumina einzeln berechnen und addieren

Beispiel: Haus (Quader + Dreiecksprisma als Dach)

Quader: 10 m × 8 m × 5 m. Dach (Prisma): Dreieck 8 m breit, 3 m hoch, 10 m tief.

1
\(V_{Quader} = 10 \cdot 8 \cdot 5 = 400 \text{ m}^3\)
2
\(V_{Dach} = \frac{8 \cdot 3}{2} \cdot 10 = 120 \text{ m}^3\)
3
\(V_{gesamt} = 400 + 120 = \mathbf{520 \text{ m}^3}\)

Hohlkörper (Subtrahieren)

Hohlkörper
\(V_{Hohl} = V_{außen} - V_{innen}\)
Beispiel: Rohr (Hohlzylinder)

Außenradius: 5 cm, Innenradius: 3 cm, Höhe: 20 cm.

1
\(V_{außen} = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 = 500\pi \approx 1.571 \text{ cm}^3\)
2
\(V_{innen} = \pi \cdot 3^2 \cdot 20 = 180\pi \approx 565 \text{ cm}^3\)
3
\(V_{Rohr} = 500\pi - 180\pi = 320\pi \approx \mathbf{1.005 \text{ cm}^3}\)

Oberfläche bei zusammengesetzten Körpern

⚠️ Achtung bei der Oberfläche: Du kannst die Einzeloberflächen NICHT einfach addieren! An den Verbindungsflächen berühren sich die Körper – diese Flächen sind innen und gehören NICHT zur Gesamtoberfläche.

Oberfläche zusammengesetzter Körper
\(O_{gesamt} = O_1 + O_2 - 2 \cdot A_{Verbindung}\)

Verbindungsfläche wird bei beiden Körpern abgezogen (daher × 2)

Beispiel: Zylinder + Kegel (Bleistiftform)

Zylinder: r = 1 cm, h = 15 cm. Kegel: r = 1 cm, h = 2 cm.

Verbindungsfläche = Kreisfläche \(\pi r^2 = \pi\). Diese fehlt oben am Zylinder UND unten am Kegel.

Wichtige Volumenformeln

KörperVolumen
Quader\(V = a \cdot b \cdot c\)
Würfel\(V = a^3\)
Prisma\(V = G \cdot h\)
Zylinder\(V = \pi r^2 h\)
Pyramide\(V = \frac{1}{3} G \cdot h\)
Kegel\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Kugel\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

Vorgehensweise

4 Schritte
1
Skizze: Körper zeichnen und Teilkörper markieren
2
Identifizieren: Welche Grundkörper? (Quader, Zylinder, Kegel...)
3
Einzeln berechnen: Volumen jedes Teilkörpers bestimmen
4
Kombinieren: Addieren (oder subtrahieren bei Hohlkörpern)

Häufige Fehler vermeiden

  • Oberflächen einfach addieren: Verbindungsflächen müssen abgezogen werden!
  • Fehlende Maße: Manchmal musst du erst Maße aus anderen Angaben berechnen.
  • Einheiten mischen: Alle Maße in der gleichen Einheit verwenden.
  • Pyramide/Kegel vergessen: Faktor \(\frac{1}{3}\) nicht vergessen!

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Quader (4×3×2) + Würfel (2×2×2). Gesamtvolumen?

Aufgabe 2Leicht

Was ist ein Hohlkörper?

Aufgabe 3Mittel

Warum kann man Oberflächen nicht einfach addieren?

Aufgabe 4Mittel

Quader 10×6×4 mit Würfel-Ausschnitt 2×2×2. Volumen?

Aufgabe 5Schwer

Was ist der erste Schritt bei zusammengesetzten Körpern?

Aufgabe 6Schwer

Zylinder + Halbkugel oben. r=3 cm, h(Zylinder)=10 cm. Gesamtvolumen? (π≈3,14)

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