Was ist eine Primzahl?
Das bedeutet: Eine Primzahl lässt sich nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilen. Zum Beispiel ist 7 eine Primzahl, weil 7 nur durch 1 und 7 teilbar ist. Die Zahl 6 dagegen ist keine Primzahl, weil sie auch durch 2 und 3 teilbar ist.
Warum ist 1 keine Primzahl? Die 1 hat nur einen Teiler (nämlich sich selbst). Eine Primzahl braucht aber genau zwei verschiedene Teiler. Außerdem würde die Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig funktionieren, wenn 1 eine Primzahl wäre.
| Zahl | Teiler | Primzahl? |
|---|---|---|
| 1 | 1 | Nein (nur 1 Teiler) |
| 2 | 1, 2 | Ja ✓ |
| 3 | 1, 3 | Ja ✓ |
| 4 | 1, 2, 4 | Nein (3 Teiler) |
| 5 | 1, 5 | Ja ✓ |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | Nein (4 Teiler) |
| 7 | 1, 7 | Ja ✓ |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | Nein (4 Teiler) |
| 9 | 1, 3, 9 | Nein (3 Teiler) |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | Nein (4 Teiler) |
Primzahlen bis 100
Es gibt 25 Primzahlen bis 100:
Merke: Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar und haben daher mindestens 3 Teiler.
Weitere wichtige Primzahlen zwischen 100 und 200: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Primzahlen erkennen
Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist? Du musst testen, ob sie durch eine kleinere Zahl (außer 1) teilbar ist.
Schneller Primzahltest
Warum nur bis zur Wurzel? Wenn eine Zahl \(n\) einen Teiler hat, dann muss mindestens ein Teiler kleiner oder gleich \(\sqrt{n}\) sein. Für 97 zum Beispiel: \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\). Du musst also nur 2, 3, 5 und 7 prüfen.
Beispiel: Ist 53 eine Primzahl?
Beispiel: Ist 91 eine Primzahl?
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist eine geniale Methode aus der Antike, um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze zu finden:
Wichtige Eigenschaften
| Eigenschaft | Erklärung |
|---|---|
| Kleinste Primzahl | 2 (und einzige gerade Primzahl) |
| Unendlich viele | Es gibt unendlich viele Primzahlen (Beweis von Euklid) |
| Primfaktorzerlegung | Jede Zahl > 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben |
| Primzahlzwillinge | Paare mit Abstand 2: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ... |
| Verteilung | Je größer die Zahlen, desto seltener kommen Primzahlen vor |
Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Zum Beispiel: \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). Mehr dazu auf der Seite Primfaktorzerlegung.
Nützliche Teilbarkeitsregeln
Diese Teilbarkeitsregeln helfen beim Primzahltest:
| Teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | Letzte Ziffer gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 124 → ja |
| 3 | Quersumme durch 3 teilbar | 123 → 1+2+3 = 6 → ja |
| 5 | Letzte Ziffer 0 oder 5 | 135 → ja |
| 7 | Direkt dividieren | 91 ÷ 7 = 13 → ja |
| 11 | Alternierende Quersumme durch 11 teilbar | 121 → 1−2+1 = 0 → ja |
Häufige Fehler vermeiden
- 1 als Primzahl bezeichnen: Die 1 ist keine Primzahl! Sie hat nur einen Teiler.
- 2 vergessen: Die 2 ist eine Primzahl – und die einzige gerade!
- 91 für eine Primzahl halten: 91 = 7 × 13, also keine Primzahl. Das ist einer der häufigsten Irrtümer.
- Nicht bis zur Wurzel prüfen: Beim Primzahltest reicht es, bis \(\sqrt{n}\) zu prüfen. Für 100 also nur bis 10.
- Primzahl und „prim" verwechseln: „Prim" (= teilerfremd) ist etwas anderes als Primzahl.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Welche dieser Zahlen ist eine Primzahl?
Ist 1 eine Primzahl?
Welche ist die einzige gerade Primzahl?
Ist 51 eine Primzahl?
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 20 und 30?
Ist 97 eine Primzahl?