GGT – Größter gemeinsamer Teiler
Der GGT ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.
GGT
GGT(a, b) = größte Zahl, die sowohl a als auch b teilt
Methode 1: Teilermengen aufschreiben
Beispiel: GGT(12, 18)
1
Teiler von 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2
Teiler von 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
3
Gemeinsame Teiler: {1, 2, 3, 6}
4
GGT(12, 18) = 6
Methode 2: Primfaktorzerlegung
Beispiel: GGT(48, 36)
1
\(48 = 2^4 \cdot 3\)
2
\(36 = 2^2 \cdot 3^2\)
3
GGT = gemeinsame Primfaktoren mit kleinstem Exponenten
4
GGT = \(2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}\)
Wozu braucht man den GGT? Zum Kürzen von Brüchen! \(\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}\)
KGV – Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das KGV ist die kleinste Zahl, die von beiden Zahlen ein Vielfaches ist.
KGV
KGV(a, b) = kleinste Zahl, die durch a und durch b teilbar ist
Methode 1: Vielfachmengen aufschreiben
Beispiel: KGV(4, 6)
1
Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
2
Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, ...
3
Gemeinsame Vielfache: 12, 24, 36, ...
4
KGV(4, 6) = 12
Methode 2: Primfaktorzerlegung
Beispiel: KGV(48, 36)
1
\(48 = 2^4 \cdot 3\)
2
\(36 = 2^2 \cdot 3^2\)
3
KGV = alle Primfaktoren mit größtem Exponenten
4
KGV = \(2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = \mathbf{144}\)
Wozu braucht man das KGV? Um den Hauptnenner beim Brüche addieren zu finden! \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\)
Zusammenhang GGT und KGV
Wichtige Beziehung
\(\text{GGT}(a,b) \cdot \text{KGV}(a,b) = a \cdot b\)
Kontrolle: a = 12, b = 18
GGT = 6, KGV = 36
\(6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18\) ✓
Schnellmethode: Wenn du den GGT kennst, berechne das KGV einfach als: \(\text{KGV} = \frac{a \cdot b}{\text{GGT}}\)
GGT vs. KGV im Überblick
| Eigenschaft | GGT | KGV |
|---|---|---|
| Bedeutung | Größter gemeinsamer Teiler | Kleinstes gemeinsames Vielfaches |
| Primfaktorzerlegung | Gemeinsame mit kleinstem Exponenten | Alle mit größtem Exponenten |
| Anwendung | Brüche kürzen | Hauptnenner finden (erweitern) |
| GGT(12,18) | 6 | — |
| KGV(12,18) | — | 36 |
Häufige Fehler vermeiden
- GGT und KGV verwechseln: GGT = größter Teiler (ist ≤ der kleineren Zahl). KGV = kleinstes Vielfaches (ist ≥ der größeren Zahl).
- Primfaktor-Exponenten vertauschen: GGT nimmt den kleinsten, KGV den größten Exponenten.
- Teiler und Vielfache verwechseln: Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, ...
- GGT(a,b) = 1 bedeutet: Die Zahlen sind teilerfremd (haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
GGT(8, 12) = ?
Aufgabe 2Leicht
KGV(3, 5) = ?
Aufgabe 3Mittel
Wofür braucht man das KGV beim Bruchrechnen?
Aufgabe 4Mittel
GGT(24, 36) = ?
Aufgabe 5Schwer
KGV(8, 12) = ?
Aufgabe 6Schwer
GGT(a,b) = 5 und a·b = 300. KGV(a,b) = ?
Dein Ergebnis
0 / 6 richtig