Grundlagen
Die Quadratwurzel aus \(a\) ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(a\) ergibt
| Wurzel | Wert | Probe |
|---|---|---|
| \(\sqrt{4}\) | 2 | 2² = 4 ✓ |
| \(\sqrt{9}\) | 3 | 3² = 9 ✓ |
| \(\sqrt{25}\) | 5 | 5² = 25 ✓ |
| \(\sqrt{2}\) | ≈ 1,414 | irrational |
Produktregel
\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\) ✓
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) (vereinfacht!)
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\)
Quotientenregel
\(\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}\)
\(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6\)
Wurzeln vereinfachen
| Wurzel | Zerlegung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| \(\sqrt{12}\) | \(\sqrt{4 \cdot 3}\) | \(2\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{18}\) | \(\sqrt{9 \cdot 2}\) | \(3\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{48}\) | \(\sqrt{16 \cdot 3}\) | \(4\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{75}\) | \(\sqrt{25 \cdot 3}\) | \(5\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{200}\) | \(\sqrt{100 \cdot 2}\) | \(10\sqrt{2}\) |
Wurzeln addieren und subtrahieren
⚠️ Achtung: \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}\)! Wurzeln kann man nur addieren, wenn sie gleichartig sind (gleicher Radikand).
\(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\) ✓ (gleichartig)
\(\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{3} + \sqrt{7}\) (nicht vereinfachbar!)
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) ✓ (erst vereinfachen!)
Zusammenhang mit Potenzen
Häufige Fehler vermeiden
- \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\): FALSCH! \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), aber \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
- Nicht vollständig vereinfacht: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), nicht bei \(\sqrt{8}\) stehen bleiben.
- Negativer Radikand: \(\sqrt{-4}\) existiert nicht in den reellen Zahlen!
- Quadrat vergessen: \((\sqrt{a})^2 = a\), nicht \(\sqrt{a^2} = a\) (hier gilt \(|a|\)).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \)?
\(\sqrt{50}\) vereinfacht:
\(\sqrt{4+9} = \)?
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}} = \)?
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} = \)?
\(\sqrt{a}\) als Potenz geschrieben: