Wiederholung: Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren:
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ Faktoren}}\)
Dabei heißt \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent.
\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)
\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
\(10^2 = 10 \cdot 10 = 100\)
Potenzgesetze: Gleiche Basis
Wenn zwei Potenzen die gleiche Basis haben, verrechnest du die Exponenten:
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Multiplikation | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\) |
| Division | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625\) |
| Potenz einer Potenz | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((3^2)^3 = 3^6 = 729\) |
💡 Merkregel: Gleiche Basis → Exponenten verrechnen! Mal → addieren, Geteilt → subtrahieren, Potenz von Potenz → multiplizieren.
Potenzgesetze: Gleicher Exponent
Wenn zwei Potenzen den gleichen Exponenten haben, verrechnest du die Basen:
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt potenzieren | \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) | \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\) |
| Quotient potenzieren | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\) |
⚠️ Achtung: Summen darf man nicht so potenzieren! \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\). Für Summen brauchst du die binomischen Formeln.
Spezialfälle
| Potenz | Wert | Erklärung |
|---|---|---|
| \(a^1\) | \(a\) | Einmal sich selbst |
| \(a^0\) | \(1\) (für \(a \neq 0\)) | \(a^n : a^n = a^{n-n} = a^0 = 1\) |
| \(a^{-n}\) | \(\frac{1}{a^n}\) | Negativer Exponent = Kehrwert |
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
\(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\)
\(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2\)
Häufige Fehler vermeiden
- Basen multiplizieren statt Exponenten: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\), nicht \(4^7\)!
- Summen potenzieren: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), nicht \(a^2 + b^2\)
- Exponenten bei Potenz einer Potenz addieren: \((a^3)^2 = a^6\), nicht \(a^5\) (multiplizieren, nicht addieren!)
- \(a^0 = 0\) denken: \(a^0 = 1\) (für \(a \neq 0\)), nicht 0!
- Verschiedene Basen: \(2^3 \cdot 3^2\) kann man nicht vereinfachen, weil die Basen verschieden sind.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Vereinfache: \(x^3 \cdot x^5\)
Vereinfache: \((a^2)^4\)
Was ist \(5^0\)?
Berechne: \(2^{-3}\)
Vereinfache: \(\frac{a^7 \cdot a^3}{a^4}\)
Vereinfache: \((2x^3)^2\)