Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus berechnet den Exponenten. Wenn du weißt, dass \(2^3 = 8\), dann ist der Logarithmus die Antwort auf die Frage: "2 hoch was ergibt 8?"
b = Basis, x = Numerus (muss > 0 sein), y = Logarithmus
\(\log_2(8) = 3\), weil \(2^3 = 8\)
\(\log_{10}(1000) = 3\), weil \(10^3 = 1000\)
\(\log_5(25) = 2\), weil \(5^2 = 25\)
\(\log_3(1) = 0\), weil \(3^0 = 1\)
💡 Merktipp: Lies \(\log_2(8) = 3\) als: "2 hoch 3 ergibt 8". Der Logarithmus "holt den Exponenten runter"!
Zusammenhang: Potenz - Wurzel - Logarithmus
Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren hängen eng zusammen. Alle drei beschreiben dieselbe Beziehung \(b^y = x\), suchen aber eine andere Größe:
| Rechenart | Gesucht | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzieren | Ergebnis x | \(2^3 = ?\) → \(x = 8\) |
| Wurzelziehen | Basis b | \(\sqrt[3]{8} = ?\) → \(b = 2\) |
| Logarithmieren | Exponent y | \(\log_2(8) = ?\) → \(y = 3\) |
Besondere Logarithmen
Zwei Basen kommen so häufig vor, dass sie eigene Abkürzungen haben:
| Name | Schreibweise | Basis | Verwendung |
|---|---|---|---|
| Zehnerlogarithmus | \(\lg(x)\) oder \(\log(x)\) | 10 | Dezimalsystem, Dezibel, pH-Wert |
| Natürlicher Logarithmus | \(\ln(x)\) | \(e \approx 2{,}718\) | Wachstum, Zerfall, Analysis |
Achtung Taschenrechner: Die Taste log berechnet den Zehnerlogarithmus \(\lg(x)\), die Taste ln den natürlichen Logarithmus. Für andere Basen brauchst du den Basiswechsel.
Logarithmus-Rechenregeln
Die Rechenregeln ergeben sich direkt aus den Potenzgesetzen:
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | \(\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)\) | \(\log(2 \cdot 5) = \log(2) + \log(5) = \log(10) = 1\) |
| Quotientenregel | \(\log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)\) | \(\log\!\left(\frac{100}{10}\right) = 2 - 1 = 1\) |
| Potenzregel | \(\log(a^n) = n \cdot \log(a)\) | \(\log(10^3) = 3 \cdot \log(10) = 3\) |
Spezialwerte
| Ausdruck | Wert | Grund |
|---|---|---|
| \(\log_b(1)\) | 0 | \(b^0 = 1\) für jedes \(b\) |
| \(\log_b(b)\) | 1 | \(b^1 = b\) |
| \(\log_b(b^n)\) | \(n\) | direkt aus der Definition |
| \(b^{\log_b(x)}\) | \(x\) | Logarithmus und Potenz heben sich auf |
Basiswechsel
Um einen Logarithmus mit beliebiger Basis auf dem Taschenrechner auszurechnen, verwendest du den Basiswechselsatz:
\(\log_3(81) = \frac{\ln(81)}{\ln(3)} = \frac{4{,}394}{1{,}099} = 4\)
Kontrolle: \(3^4 = 81\) ✓
Logarithmische Gleichungen lösen
Logarithmen brauchst du vor allem, um Exponentialgleichungen zu lösen - also Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht:
Kontrolle: \(2^5 = 32\) ✓
⚠️ Definitionsbereich: Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert! \(\log_b(x)\) existiert nur für \(x > 0\) und \(b > 0\), \(b \neq 1\).
Häufige Fehler vermeiden
- Produktregel falsch anwenden: \(\log(a + b) \neq \log(a) + \log(b)\). Die Regel gilt nur für Produkte, nicht für Summen!
- Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen: \(\log(0)\) und \(\log(-5)\) existieren nicht.
- Basis verwechseln: \(\log_2(8) = 3\), aber \(\log_8(2) = \frac{1}{3}\). Basis und Numerus vertauschen ergibt den Kehrwert!
- log und ln verwechseln: Am Taschenrechner immer prüfen, welche Taste du drückst.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(\log_{10}(100) = ?\)
\(\log_5(125) = ?\)
Vereinfache: \(\log(4) + \log(25)\)
\(\log_2(16) = ?\)
Löse: \(3^x = 81\)
Vereinfache: \(\log_2(8) + \log_2(4)\)