Multiplikation (Mal-Rechnen)
Multiplikation ist eine Abkürzung für wiederholtes Addieren der gleichen Zahl:
\(3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12\)
Fachbegriffe: \(\underbrace{3}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{4}_{\text{2. Faktor}} = \underbrace{12}_{\text{Produkt}}\)
Rechengesetze der Multiplikation
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Kommutativgesetz | \(a \cdot b = b \cdot a\) | \(3 \cdot 5 = 5 \cdot 3 = 15\) |
| Assoziativgesetz | \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) | \((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24\) |
| Distributivgesetz | \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) | \(3 \cdot (4 + 2) = 12 + 6 = 18\) |
💡 Kopfrechnen-Trick: Das Distributivgesetz hilft bei schwierigen Aufgaben: \(7 \cdot 98 = 7 \cdot (100 - 2) = 700 - 14 = 686\)
Division (Teilen)
Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Du fragst: "Wie oft passt der Divisor in den Dividenden?"
\(12 : 4 = 3\), weil \(3 \cdot 4 = 12\)
Fachbegriffe: \(\underbrace{12}_{\text{Dividend}} : \underbrace{4}_{\text{Divisor}} = \underbrace{3}_{\text{Quotient}}\)
⚠️ Durch 0 teilen ist verboten! \(a : 0\) ist nicht definiert. Warum? Es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert etwas anderes als 0 ergibt.
Division mit Rest
Wenn die Division nicht aufgeht, bleibt ein Rest:
\(17 : 5 = 3\) Rest \(2\), weil \(3 \cdot 5 = 15\) und \(17 - 15 = 2\)
Schreibweise: \(17 = 3 \cdot 5 + 2\)
Punkt vor Strich
Die wichtigste Reihenfolge-Regel: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion berechnet.
\(3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23\) (nicht \(7 \cdot 5 = 35\)!)
\(20 - 12 : 4 = 20 - 3 = 17\) (nicht \(8 : 4 = 2\)!)
Klammern gehen immer vor! Mehr dazu bei Reihenfolge der Rechenoperationen und Klammern auflösen.
Vorzeichenregeln
Beim Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen gelten diese Regeln:
| Rechnung | Ergebnis | Beispiel |
|---|---|---|
| \((+) \cdot (+)\) | \(+\) | \(3 \cdot 4 = 12\) |
| \((-) \cdot (-)\) | \(+\) | \((-3) \cdot (-4) = 12\) |
| \((+) \cdot (-)\) | \(-\) | \(3 \cdot (-4) = -12\) |
| \((-) \cdot (+)\) | \(-\) | \((-3) \cdot 4 = -12\) |
💡 Merkregel: Gleiche Vorzeichen ergibt Plus, verschiedene Vorzeichen ergibt Minus. Das gilt für Multiplikation und Division gleichermaßen.
Besondere Zahlen
| Regel | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| \(a \cdot 1 = a\) | 1 ist das neutrale Element | \(7 \cdot 1 = 7\) |
| \(a \cdot 0 = 0\) | Alles mal 0 ist 0 | \(999 \cdot 0 = 0\) |
| \(a : 1 = a\) | Durch 1 teilen ändert nichts | \(9 : 1 = 9\) |
| \(a : a = 1\) | Durch sich selbst = 1 | \(6 : 6 = 1\) |
| \(0 : a = 0\) | 0 geteilt durch alles = 0 | \(0 : 5 = 0\) |
Schriftliches Rechnen
Bei größeren Zahlen rechnest du schriftlich. Die schriftliche Multiplikation zerlegt die Rechnung in einzelne Einmaleins-Aufgaben, die schriftliche Division arbeitet Stelle für Stelle von links nach rechts.
Häufige Fehler vermeiden
- Punkt vor Strich ignorieren: \(2 + 3 \cdot 4 = 14\), nicht 20!
- Vorzeichen vergessen: \((-3) \cdot (-5) = +15\), nicht \(-15\)
- Division ist nicht kommutativ: \(12 : 4 \neq 4 : 12\)
- Durch 0 teilen: Das geht nie - auch nicht bei \(\frac{0}{0}\)!
- Rest vergessen: Bei \(17 : 5\) ist das Ergebnis 3 Rest 2, nicht einfach 3.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Was ist \(7 \cdot 8\)?
Was ist \(72 : 9\)?
Was ist \((-6) \cdot (-7)\)?
Berechne: \(5 + 3 \cdot 4\)
Was ist \(17 : 5\) mit Rest?
\(4 \cdot (7 + 3) - 2 \cdot 5 = ?\)