Brüche erweitern
Erweitern bedeutet: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht, weil du eigentlich mit \(\frac{n}{n} = 1\) multiplizierst.
Zähler UND Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
\(\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}\) (erweitert mit 3)
\(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}\) (erweitert mit 4)
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}\) (erweitert mit 5)
Wann braucht man das? Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen beide den gleichen Nenner haben. Dafür erweiterst du einen oder beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner (das kgV).
Beispiel: Gleichen Nenner herstellen
Brüche kürzen
Kürzen ist das Gegenteil von Erweitern: Du dividierst Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Das geht nur, wenn beide durch diese Zahl teilbar sind.
Zähler UND Nenner durch dieselbe Zahl dividieren
\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}\) (gekürzt durch 2)
\(\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}\) (gekürzt durch 5)
\(\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}\) (gekürzt durch 6)
💡 Tipp: Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben (außer 1). Kürze am besten gleich mit dem ggT (größter gemeinsamer Teiler), dann bist du in einem Schritt fertig.
Vollständig kürzen mit ggT
Um in einem Schritt vollständig zu kürzen, bestimmst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner:
Alternativ kannst du auch schrittweise kürzen - dann dauert es länger, aber du brauchst den ggT nicht:
\(\frac{24}{36} \xrightarrow{\div 2} \frac{12}{18} \xrightarrow{\div 2} \frac{6}{9} \xrightarrow{\div 3} \frac{2}{3}\) ✓
Teilbarkeitsregeln als Hilfe
Um schnell zu erkennen, durch welche Zahlen du kürzen kannst, helfen die Teilbarkeitsregeln:
| Teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | Letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 24, 36 → durch 2 kürzbar |
| 3 | Quersumme durch 3 teilbar | 24: 2+4=6 ✓ | 36: 3+6=9 ✓ |
| 5 | Endet auf 0 oder 5 | 15, 20, 35 |
| 9 | Quersumme durch 9 teilbar | 36: 3+6=9 ✓ |
| 10 | Endet auf 0 | 30, 100 |
Kürzen vs. Erweitern - Übersicht
| Kürzen | Erweitern | |
|---|---|---|
| Rechenoperation | Dividieren | Multiplizieren |
| Zähler und Nenner | werden kleiner | werden größer |
| Wert des Bruchs | bleibt gleich | bleibt gleich |
| Bedingung | Gemeinsamer Teiler nötig | Immer möglich |
| Ziel | Einfachste Darstellung | Gleicher Nenner für +/− |
⚠️ Goldene Regel: Was du oben machst, musst du auch unten machen! Immer Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren. Nie nur den Zähler oder nur den Nenner verändern!
Häufige Fehler vermeiden
- Nur Zähler oder Nenner kürzen: Du musst immer beide durch die gleiche Zahl teilen! \(\frac{6}{8} \neq \frac{3}{8}\)
- Nicht vollständig kürzen: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), nicht \(\frac{4}{6} = \frac{2}{6}\). Prüfe am Ende, ob noch ein gemeinsamer Teiler existiert.
- Summen kürzen: In \(\frac{3 + 6}{9}\) darfst du nicht die 3 und die 9 kürzen! Erst ausrechnen: \(\frac{9}{9} = 1\). Kürzen geht nur bei Faktoren, nicht bei Summanden.
- Kürzen mit 0: Durch 0 darf man nicht dividieren, also auch nicht kürzen!
- Erweitern mit 0: Erweitern mit 0 ergibt \(\frac{0}{0}\) - nicht erlaubt!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 4.
Kürze \(\frac{10}{15}\).
Kürze \(\frac{18}{24}\) vollständig.
Erweitere \(\frac{3}{5}\) und \(\frac{1}{4}\) auf den gleichen Nenner.
Wie lautet der ggT von 48 und 60?
Kürze \(\frac{48}{60}\) vollständig.