Definition im rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels \(\alpha\) das Verhältnis der Gegenkathete (die Seite gegenüber dem Winkel) zur Hypotenuse (die längste Seite):

Sinus im rechtwinkligen Dreieck
\(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\)

SOH: Sinus = Opposite / Hypotenuse

Eselsbrücke „SOH-CAH-TOA": Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent. Auf Deutsch: Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse, Gegenkathete/Ankathete.

Wichtige Sinuswerte

Winkel \(\alpha\)\(\sin(\alpha)\)Dezimal (gerundet)
0°00
30°\(\frac{1}{2}\)0,500
45°\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)0,707
60°\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)0,866
90°11,000

Seiten berechnen mit Sinus

Aus der Sinusdefinition lassen sich zwei Formeln ableiten:

Seiten berechnen
\(a = c \cdot \sin(\alpha)\) bzw. \(c = \frac{a}{\sin(\alpha)}\)

a = Gegenkathete, c = Hypotenuse

Beispiel 1: Gegenkathete berechnen

Beispiel: Hypotenuse c = 10 cm, Winkel α = 30°
1
Formel: \(a = c \cdot \sin(\alpha)\)
2
Einsetzen: \(a = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5\)
3
Ergebnis: \(a = 5\) cm

Beispiel 2: Hypotenuse berechnen

Beispiel: Gegenkathete a = 8 cm, Winkel α = 45°
1
\(c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{8}{\sin(45°)} = \frac{8}{0{,}707}\)
2
\(c \approx 11{,}31\) cm

Winkel berechnen mit Arcussinus

Wenn du zwei Seiten kennst und den Winkel berechnen willst, brauchst du die Umkehrfunktion des Sinus – den Arcussinus (auf dem Taschenrechner: \(\sin^{-1}\)):

Winkel berechnen
\(\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\right) = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)\)
Beispiel: a = 6 cm, c = 12 cm
1
\(\sin(\alpha) = \frac{6}{12} = 0{,}5\)
2
\(\alpha = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°\)

Sinus am Einheitskreis

Am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) lässt sich der Sinus für beliebige Winkel definieren – nicht nur für Winkel im Dreieck:

Definition: Der Sinuswert eines Winkels \(\alpha\) entspricht der y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Der Cosinus entspricht der x-Koordinate.

EigenschaftBeschreibung
Wertebereich\(-1 \leq \sin(\alpha) \leq 1\)
Periode360° (der Sinus wiederholt sich alle 360°)
Nullstellenbei 0°, 180°, 360°, ...
Maximumbei 90° (sin 90° = 1)
Minimumbei 270° (sin 270° = −1)

Die Sinusfunktion

Die Funktion \(f(x) = \sin(x)\) erzeugt eine wellenförmige Kurve – die Sinuskurve:

Allgemeine Sinusfunktion
\(f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x + c) + d\)

\(a\) = Amplitude, \(b\) = Frequenz, \(c\) = Phasenverschiebung, \(d\) = vertikale Verschiebung

Häufige Fehler vermeiden

  • Gegen- und Ankathete verwechseln: Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt neben dem Winkel. Sinus nutzt die Gegenkathete!
  • Taschenrechner auf RAD statt DEG: Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf DEG (Grad) eingestellt ist, nicht auf RAD (Radiant)!
  • Sinus nur für Winkel ≤ 90°: Über den Einheitskreis ist Sinus für alle Winkel definiert, auch über 90°.
  • Hypotenuse und Kathete verwechseln: Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Wie lautet die Definition von sin(α) im rechtwinkligen Dreieck?

Aufgabe 2Leicht

Was ist sin(30°)?

Aufgabe 3Mittel

c = 20 cm, α = 30°. Wie lang ist die Gegenkathete a?

Aufgabe 4Mittel

Welche Werte kann sin(α) annehmen?

Aufgabe 5Schwer

a = 7 cm, c = 14 cm. Wie groß ist Winkel α?

Aufgabe 6Schwer

α = 60°, a = 12 cm. Wie lang ist die Hypotenuse c? (gerundet)

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