Die Laplace-Formel
Voraussetzung: Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich!
Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1: \(0 \leq P(E) \leq 1\). Als Prozent: zwischen 0 % und 100 %.
Beispiele
Günstig: 1 (nur die 6). Möglich: 6 (Zahlen 1–6)
\(P(\text{„6"}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)
Günstig: 3 (nämlich 2, 4, 6). Möglich: 6
\(P(\text{gerade}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%\)
Günstig: 1 (Kopf). Möglich: 2 (Kopf, Zahl)
\(P(\text{Kopf}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)
Kartenspiel-Beispiele
Günstig: 8 Herz-Karten. Möglich: 32 Karten gesamt
\(P(\text{Herz}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 25\,\%\)
Gegenwahrscheinlichkeit
„nicht E" = 1 minus Wahrscheinlichkeit von E
\(P(\text{keine 6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\,\%\)
Wann gilt Laplace?
| Laplace ✓ | Laplace ✗ |
|---|---|
| Fairer Würfel | Gezinkter Würfel |
| Faire Münze | Verbogene Münze |
| Gut gemischte Karten | Sortierte Karten |
| Lostrommel (gleiche Lose) | Glücksrad (ungleiche Felder) |
⚠️ Wichtig: Die Laplace-Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind! Bei ungleich großen Feldern auf einem Glücksrad z. B. funktioniert sie nicht.
Häufige Fehler vermeiden
- Günstige/mögliche vertauscht: Günstige im Zähler, mögliche im Nenner!
- Laplace falsch anwenden: Nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen!
- Prozent vergessen: \(\frac{1}{4}\) = 0,25 = 25 % – alle drei Darstellungen kennen.
- Ergebnis > 1: Wahrscheinlichkeit ist nie größer als 1 (100 %)!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Würfel: P(3) = ?
Münze: P(Zahl) = ?
Würfel: P(Zahl > 4) = ?
P(E) = 0,3. Gegenwahrscheinlichkeit?
Dose mit 3 roten, 5 blauen, 2 grünen Kugeln. P(rot)?
Wann gilt die Laplace-Formel NICHT?