Grundbegriffe
Jedes Zufallsexperiment (z.B. Würfeln, Münzwurf) hat eine Menge möglicher Ergebnisse. Diese Begriffe brauchst du:
| Begriff | Symbol | Bedeutung | Beispiel Würfel |
|---|---|---|---|
| Ergebnismenge | \(\Omega\) | Alle möglichen Ergebnisse | \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) |
| Ergebnis | \(\omega\) | Ein einzelnes Ergebnis | \(\omega = 3\) |
| Ereignis | A, B, ... | Teilmenge von \(\Omega\) | A = "gerade" = \(\{2, 4, 6\}\) |
| Sicheres Ereignis | \(\Omega\) | Tritt immer ein | "Zahl zwischen 1 und 6" |
| Unmögliches Ereignis | \(\emptyset\) | Tritt nie ein | "Zahl 7 würfeln" |
Elementarereignis: Ein Ereignis, das nur ein einziges Ergebnis enthält, z.B. \(\{3\}\) = "genau eine 3 würfeln". Jedes Ereignis ist eine Zusammenfassung von Elementarereignissen.
Mengenverknüpfungen
Ereignisse lassen sich mit Mengenoperationen verknüpfen:
| Operation | Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|---|
| Vereinigung | \(A \cup B\) | "A oder B" (mindestens eines tritt ein) |
| Schnittmenge | \(A \cap B\) | "A und B" (beide treten gleichzeitig ein) |
| Komplement | \(\overline{A}\) | "nicht A" (A tritt nicht ein) |
\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
A = "gerade Zahl" = \(\{2, 4, 6\}\)
B = "Zahl größer als 3" = \(\{4, 5, 6\}\)
\(A \cap B = \{4, 6\}\) (gerade UND größer als 3)
\(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\) (gerade ODER größer als 3)
\(\overline{A} = \{1, 3, 5\}\) (ungerade Zahl)
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse heißen disjunkt (oder unvereinbar), wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Ihre Schnittmenge ist leer:
A und B können nicht gleichzeitig eintreten
A = "Zahl kleiner als 3" = \(\{1, 2\}\)
B = "Zahl größer als 4" = \(\{5, 6\}\)
\(A \cap B = \emptyset\) → A und B sind disjunkt
Additionssatz
Der Additionssatz berechnet die Wahrscheinlichkeit von \(A \cup B\):
Schnittmenge abziehen, damit sie nicht doppelt gezählt wird!
\(P(A) = \frac{3}{6}\), \(P(B) = \frac{3}{6}\), \(P(A \cap B) = \frac{2}{6}\)
\(P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Kontrolle: \(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\) → 4 von 6 = \(\frac{2}{3}\) ✓
💡 Sonderfall: Bei disjunkten Ereignissen ist \(P(A \cap B) = 0\), also: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit des Komplements (Gegenereignis) berechnet sich einfach:
Das ist oft der einfachere Rechenweg, besonders bei "mindestens einmal"-Aufgaben.
Häufige Fehler vermeiden
- "oder" mit "und" verwechseln: \(\cup\) = oder (Vereinigung), \(\cap\) = und (Schnitt).
- Schnittmenge beim Additionssatz vergessen: Ohne \(-P(A \cap B)\) zählst du die Überlappung doppelt!
- Disjunkt mit unabhängig verwechseln: Disjunkt bedeutet \(A \cap B = \emptyset\). Unabhängig bedeutet \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Das ist nicht dasselbe!
- Komplement falsch bestimmen: \(\overline{A}\) enthält alle Elemente von \(\Omega\), die nicht in A sind.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Was bedeutet \(A \cup B\)?
A = \(\{1,2,3\}\), B = \(\{2,3,4\}\). Was ist \(A \cap B\)?
Würfel: \(\Omega = \{1,...,6\}\), A = "gerade" = \(\{2,4,6\}\). Was ist \(\overline{A}\)?
Wann sind A und B disjunkt?
\(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Was ist \(P(A \cup B)\)?
\(P(A) = 0{,}3\). Was ist \(P(\overline{A})\)?